反比例函数专题讲座

初中数学反比例函数专题讲座思维基础知识是思维的基础，通过下述练习，要掌握下述基础知识.1.（1）函数叫做反比例函数；它的图象是.（2）反比例函数的性质：①当k0,图象的两个分支分别在象限，在每一个象限内y随x的增大而，②k0，图象的两个分支分别在象限，在每一个象限内，y随x的增大而.（3）k为何值时，322)(kkxkky是反比例函数，即k=.（4）反比例函数xy2图象在象限.2.（1）下列函数中，反比例函数是.A.12xyB.22xyC.xy51D.xy2（2）已知：（x1，y1）和（x2，y2）是双曲线xy5上两点，当x1x20时，y1与y2的大小关系是.A.y1=y2B.y1y2C.y1y2D.y1与y2的大小关系不确定（3）若函数xky的图象过点（3，-7），那么它一定还经过点.A.（3，7）B.（-3，-7）C.（-3，7）D.（2，-7）（4）若反比例函数1232)12(kkxky的图象位于第二、四象限，则k的值是.A.0B.0或1C.0或2D.4学法指要【例】如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上一动点，可以与B重合但不与A重合，DP交弓形弧于Q.（1）求证：△CDQ∽△DPA；（2）设DP=x，CQ=y，试写出y关于自变量x的解析式，并求出x的取值范围；（3）当DP之长是方程02082xx的一根时，求四边形PBCQ的面积.【思路分析】根据题设找两个三角形相似的条件，第一问迎刃而解，要求y与x之间关系，当然要借助几何知识建立关系，观察图形可知，y和x与三角形相似息息相关，三角形相似已证，由此又使思路沟通.第三问首先解一元二次方程，求出DP，进一步可求出初中数学四边形PBCQ的面积.【思考】（1）判定两个三角形相似的条件是什么？本例中有没有这样的条件？解：由梯形的性质，DC∥AB，可知∠CDQ=∠DPA.由弦切角的性质可知，∠DCQ=∠PDA；故△CDQ∽△DPA.【思考】（2）函数关系怎么建立？首先从图上看DP=x与CQ=y有什么关系？给定的已知条件与DP，CQ有什么关系？解：从图形中不难分析出CQ，DP，DA，CD可转化为两相似三角形的对应边.即CQ∶DA=CD∶DP，y∶10=6∶x，∴xy6.这里要求的是DP=x的取值范围，DP的长短决定于什么？P点在什么范围运动？观察P点的运动过程，P点到什么位置时，DP最长？P点运动到什么位置时，DP最短？∵动点P可与B重合，也可与D在AB上的射影H重合，且D与线段AB上的点的连线中，以DB最长，DH最短.∴DH≤DP≤DB，即DH≤x≤DB.∵在Rt△AHD中，可得3560sin10DH，∴522DHADAH.∴14,1122BHDHDBHB.∴53≤x≤14.【思考】（3）四边形PBCQ在图形中占有什么位置？给定的一元二次方程与求四边形PBCQ的面积有什么关系？解：用图形分割法，从图上不难看出，四边形PBCQ=梯形ABCD-△DPA-△CDQ.现在看梯形ABCD的面积、△DPA的面积、△CDQ的面积能否求.S△DPA=21AP·DH.由给定的02082xx中，求得DP=10.又AD=10，∠A=60°，∴△DPA是等边三角形.即35,10DHAP.∴325DPAS.CQDDQCQSCDQsin21，由条件可知，△DCQ是等边三角形，DC=DQ=CQ=6，∠DQC=60°，∴39CDQS.DHABCDSABCD)(21梯形，由已知条件可知，DC=6，AB=AP+PB=10+6=16，355,35ABCDSDH梯形.初中数学这就不难求出321PBCQS四边形.小结：从全题分析，由动到静，P点的移动是关键.研究动点要用静态去分析，本例第3问的关键是由02082xx把P点定下来，才能有△ADP是等边三角形△DCQ是等边三角形四边形PBCD是平行四边形.反比例函数与相似三角形、四边形、圆相结合为一体，又与一元二次方程水乳交融，这就给反比例蒙上神秘的色彩，给求反比例函数关系式设置了不少障碍.遇到这样复杂的问题时，一要认真剖析，把复杂化为简单；二要发挥数形结合的威力；三要集中“兵力”（即用所学基础知识，联想，类比，找到突破口），各个击破，这样便可把难题攻破，走出低谷.思维体操【扩散1】【例】如图，A，B是函数xy1的图象上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC的面积S，则.A.S=1B.1S2C.S=2D.S2【思考】1.关于x轴、y轴、原点对称的坐标有何特点？2.平行于x轴、y轴坐标有什么特点？3.如何用坐标表示线段的长？【思路分析】在坐标平面上怎样求三角形的面积？解：应用对称点坐标的特点分别找A，B，C各点坐标.设（x0，y0），则B（-x0，-y0）.∵AC∥y轴，BC∥x轴，∴C（x0，-y0）.∴S△ABCBCAC21.222210000yxyx∵点A（x0，y0）在函数xy1的图象上.∴001xy，即x0y0=1.∴S△ABC=2，即S=2.∴应选C.【扩散2】如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线xmy，且S△AOB=3，求m的值.初中数学【思路分析】给定条件xmy说明什么？如何利用S△AOB=3这一条件？设A（x,y），则xOB，yAB，求m，即求x·y.则由32121xyABOBSAOB，求得：6xy.∵点A（x，y）在双曲线xmy上，∵m0，∴m=6.【扩散3】反比例函数xky（k0）在第一象限内的图象如图所示，P为该图象上任一点，PQ⊥x轴，设△POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（）.A.4kSB.2kSC.S=kD.Sk与扩散2思路相仿，请读者完成（答案B）.【扩散4】已知点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）都在反比例函数xky(k0)的图象上，试比较矩形P1AOB和矩形P2COD的面积大小.初中数学【思路分析】在坐标平面上怎样求矩形的面积？应用坐标的特点找到矩形各顶点坐标，再利用矩形面积公式，求得面积值进行比较.1111||||1yxyxOBOASAOBP矩形，22222yxyxSCODP矩形.∵点P1（x1，y1），P2(x2，y2)都在反比例函数xky（k0，x0）的图象上.∴kyxyx22110（k0），即CODPAOBPSS21矩形矩形.【扩散5】已知函数xy4的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小.【思路分析】解本例的关键是什么，求矩形周长应先确定哪几个点的坐标？本例的关键是求出P1，P2的坐标，要求P1，P2两点坐标就要利用y=x，y=2x和xy4.设P1（x1，y1），P2（x2，y2）.∵P1，P2分别为y=x，y=2x与xy4在第一象限内的交点，初中数学∴2,2.4,11yxxyxy.∴矩形OQ1P1R1的周长=2（2+2）=8.同理：22,2.4,222yxxyxy.∴矩形OQ2P2R2的周长26)222(2.则266×1.48.即矩形OQ2P2R2的周长大于矩形OQ1P1R1的周长.【扩散6】如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数xky的图象上，另3个点在坐标轴上，则k=.【思路分析】解本例的关键是什么？怎样求B点坐标？从图象和已知条件可知解本例关键是求出B点坐标.求B点坐标要利用矩形面积等于3这一条件.设B（x，y），则yABxBC,.3xyyxABBCSABCD矩表.∵点B在反比例函数xky的图象上，∴kxyxky（k0）.∴3k（k0）.∴k=-3.小结：从扩散1～6可知，对称点坐标的特点，点与图象之间一一对应关系，是解决问初中数学题的关键，无论求面积或用面积求系数k，变化求周长等，都利用了这些基础知识，抓住它，再结合面积公式、周长公式等，问题迎刃而解.本例命题改变的思维扩散，目的就是灵活运用基础知识去解决问题.错例剖析有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务.（1）设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的总数x的函数关系式.（2）画出所求函数当m=4时的图象.解：（1）一部机器一小时能完成这项任务的21m，则x部机器一个小时能完成这项任务的2mx，x部机器完成这项任务所需时间（小时）21mxy，即xmy2（x为不大于m的正整数）.(2)当m=4时，xmy2即xy16（x为不大于4的正整数）.X…1234…y…1685.34…错因剖析本例在求解过程中，思路清晰、准确地求出解析式，并严格按照画图象的步骤进行（列表、描点、连线）.由于知识学得死，又不能考虑实际情况，因此在画图象时三次出现错误：（1）列表不能用省略号.因x是小于等于4的正整数.（2）不能用平滑的曲线连线.因为机器必须是完整的，即用正整数表示，所以图象是正整数点.（3）图象向两方无限延伸也是错误的，即使能延伸，只是点延伸，也不能曲线延伸，何况自变量x是不大于4的正整数，根本不能延伸.可见,在学好书本知识,把它应用于具体实践中时,必须打破原来的思维定势的桎梏(列表用省略号,描点连线,向两方无限延伸),“列表、描点、连线”那是最基础的，一定要熟练掌握，但在具体应用所学知识时，千万要打破“框框”，要根据具体情况，决定策略，否则会出现各种各样错误.本例再次提醒我们，只有理论联系实际，才能学到真正知识.原解答在列表、画图、连线时出现三处错误，其他均正确，现纠错如下：初中数学x1234y1683154智能显示心中有数反比例函数常与一次函数、二次函数等配伍出现，它也与几何、代数互相渗透又与生活贴近.因此，必须认真掌握好这部分内容，对概念、性质、画图象每一个环节都不容忽视，同时对待定系数法、数形结合法等重要的思维方法也应在实际应用中熟练掌握.动脑动手1.已知121,yyyy与x成反比例，y2与（x-2）成正比例，并且当x=3时，y=5，当x=1时，y=-1.求y与x之间的函数关系式.2.如图，矩形ABCD，AB=3，AD=4，以AD为直径作半圆，M为BC上一动点，可与B，C重合，AM交半圆于N，设AM=x，DN=y.求出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.3.要加工200个零件，已知一个工人每小时加工10个，用解析式表示加工零件的工人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系，并指出自变量的取值范围（本车间共有工人5名）.4.如图，反比例函数xy8与一次函数2xy的图象交于A，B两点.求：（1）A，B两点坐标；（2）△AOB的面积.初中数学已知一次函数8xy和反比例函数xky（k≠0）.（1）k满足什么条件时这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点.（2）设（1）中的两个交点为A，B，试比较∠AOB与90°角的大小.5.如图，在⊙O中，AB是弦，CD是直径，AB⊥CD，H是垂足，点P在DC的延长线上，且∠PAH=∠POA，OH∶HC=1∶2，PC=6.（1）求证：PA是⊙O切线；（2）求⊙O半径的长；（3）试在弧ACB上任取一点E（与点A，B不重合），连结PE并延长与ADB相交于点F，设EH=x，PF=y.求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.