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学科:数学教学内容:变量之间的关系单元知识总结【基本目标要求】—、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,体验一个变量的变化对另一个变量的影响,发展符号感.二、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量,能用关系式表示某些变量之间的关系,会根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的对应关系.三、能用表格表示变量之间的关系,会根据表格中的数据对变化趋势进行预测.四、经历从图象中分析变量之间关系的过程,能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述.【基础知识导引】一、变量、自变量、因变量的概念在—个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式s=50t中,速度50恒定不变为常量,随t取不同数值时也取不同数值,s与t都为变量.t是自变量,s是因变量.二、变量之间关系的表示法【重点难点点拨】本章主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念,用表格、关系式、图象表示变量本章重点是理解变量、自变量、因变量的概念.本章难点是掌握用关系式表示变量之间的关系.要掌握上述重点、难点,必须注意以下问题:1.通过丰富的现实情境引入变量和对变量之间关系的讨论,并通过对变量之间关系的分析解决问题、进行预测.2.体验探索和表示变量之间关系的过程,获得对表格、关系式、图象等多种表示方法的体验,能读懂表格、关系式、图象所表示的信息,还能运用表格或关系式刻画一些具体情境中变量之间的关系.3.能用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系.【发散思维分析】本章引导学生从常量的世界进入了变量的世界,开始接触一种新的思维方式.本章的主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念.用表格、关系式、图象表示变量之间的关系.尤其是认关系式、图象中分析变量之间的关系,获得信息,对变化关系进行预测.本章安排—定数量的题型发散,转化发散题.题型发散可增大知识点的覆盖面,训练计算的正确性和熟练程度,培养严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力,转化发散促进数形结合解题.可发挥“形”的直观作用和“数”的思路规范优势.由数思形,由形定数,数形渗透,互相作用.扬长避短,直入捷径.综上所述,发散思维启迪我们注重观察、分析问题,利用形数转化,寻觅解决问题的方法,为提高综合运用数学知识的能力奠定坚实的基础.【发散思维应用】1.小车下滑的时间2.变化中的三角形3.温度的变化4.速度的变化典型例题1.在一次实验中,小强把—根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体,下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值:所挂重量x(kg)012345弹簧长度y(cm)202224262830(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当所挂重物为4kg时,弹簧多长?不挂重物呢?(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内),你能说出此时弹簧的长度吗?分析抓住表格中的对应数据,找出变量之间的规律.解(1)弹簧长度y,物体重量x是变量,物体重量是自变量,弹簧长度是因变量;(2)当所挂重物为4kg时,弹簧长度为28cm,不挂重物时弹簧长度为20cm;(3)当所挂重物为6kg时,弹簧长度为32cm.2.如图6—1所示,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8.(1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么?(2)用表格表示当x从10变到20时(每次增加1),y的相应值;(3)当x每增加1时,y如何变化?说说你的理由;(4)当x=0时,y等于什么?此时它表示的是什么?分析(1)根据梯形面积公式可推出y与x的关系式;(2)通过计算列表说明;(3)由表格中的数据可以观察出;(4)当上底为零时(即成为一个点),成为三角形.解(1)81521xy,即y=4x+60;(2)x1011121314151617181920y100104108112116120124128132136140(3)当x每增加1时,y的值随之增加4;(4)当x=0时,y=60,此时梯形成为了三角形.3.地壳的厚度约为8到40km.在地表以下不太深的地方,温度可按y=35x+t计算,其中x是深度(km),t是地球表面温度(℃),y是所达深度的温度(℃).(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?(2)分别计算当x为lkm,5km,10km,20km时地壳的温度(地表温度为2℃).解(1)自变量是深度,因变量是温度;(2)当x=1km时,y=35x+t=35x×1+2=37(℃);当x=5km时,y=35x+t=35×5+2=177(℃);当x=10km时,y=35x+t=35×10+2=352(℃);当x=20km时,y=35x+t=35×20+2=702(℃).说明初步体会自变量和因变量的数值对应关系,能由自变量的值求得因变量的值.题型发散发散1选择题把正确答案的代号填入题中的括号内.(1)下面的图表列出了—项试验的统计数据,表示将皮球从高处d落下时,弹跳高度b与下落高度d的关系.试问,下面的哪个式子能表示这种关系(单位:cm)()d5080100150b25405075(A)2db(B)b=2d(C)2db(D)b=d+25(2)某地一天的气温随时间的变化如图6—2,根据图象可知:在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是()(A)14℃;12h(B)4℃;2h(C)12℃;14h(D)2℃;4h解(1)用验证法.当d=50时,252502db;当d=80时,402802db;当d=100时,5021002db;当d=150时,7521502db.因上述数字完全与表格中的数字符合.故本题应选(C).(2)用直接法.由图6—2知一天达到最高气温12℃的时间是14时.故本题应选(C).发散2填空题如图6—3,△ABC是等腰三角形,周长是60cm,腰为xcm,底为ycm.(1)写出用含x的关系式来表示y;(2)当腰由20cm变化到25cm时,底边长由_______cm变化到________cm;(3)腰为20cm时,是什么形状的三角形?若腰为30cm时,行吗?分析三角形的周长是三条边长的和.解:(1)y=60-2x;(2)底边由20cm变化到10cm;(3)当腰为20cm时,是等边三角形,若腰为30cm,则无法形成三角形.纵横发散发散1南京市在某一天的地表气温是38℃,据测量每升高1km,气温下降6℃,那么在hkm的高空,温度t是多少?并计算当h的值是6km、10km、12km时的气温.讨论一下民用飞机在一万米高空飞行时,机舱为什么要与机外空气隔绝?分析用含h的代数式来表示气温.解:t=38-6h.当h=6时,t=2℃;当h=10时,t=-22℃;当h=12时,t=-34℃.原因有很多,其中一点是机舱外温度非常低.发散2婴儿在6个月、一周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍,6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.(1)上述哪些量在发生变化?自变量和因变量各是什么?(2)某婴儿在出生时的体重是3.5kg,请把他在发育过程中的体重情况填入下表:年龄刚出生6个月1周岁2周岁6周岁10周岁体重(kg)(3)根据表格中的数据,说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的?解:(1)年龄和体重都在变化;年龄是自变量,体重是因变量;(2)年龄刚出生6个月1周岁2周岁6周岁10周岁体重(kg)3.57.010.014.521.531.5(3)儿童从出生到10周岁之间,随着年龄的增长体重在增加.转化发散发散1图6—4是某地一天的气温随时间变化的图象.根据图象回答,在这一天中:(1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少?(2)20时的气温是多少?(3)什么时间的气温为6℃?(4)哪段时间内气温不断下降?(5)哪段时间内气温持续不变?解:(1)凌晨4时,气温最低,气温是-4℃;16时气温最高,气温是10℃;(2)20时的气温是8℃;(3)10时和22时的气温都是6℃;(4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降;(5)12时到14时这两个小时内气温保持8℃的温度不变.解法指导(1)气温最低、最高反映在图象上就是找最低点和最高点;(2)20时的气温是多少,实质上是求当t=20时,T=?(3)什么时间的气温为6℃,实质上是求当T=6℃时,t=?直线T=6与图象交于两点,因此t=10或t=22;(4)图中共有两段时间气温不断下降,不可遗漏;(5)气温保持不变,指的是T值保持不变,图中只有t在12h到14h这两个小时满足条件.发散2为了加强公民的节水和用水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过36m时,水费按每立方米a元收费;超过36m时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示:月份用水量(3m)水费(元)357.54927设某户该月用水量为x3m,应交水费为y(元).(1)求a、c的值,并写出用水不超过36m和超过36m时,y与x之间的关系式;(2)若该户5月份的用水量为38m,求该户5月份的水费是多少元?解:(1)依题意,有:当x≤6时,y=ax;当x6时,y=6a+c(x-6).由已知,得caa362755.7解得65.1cay=1.5x(x≤6),y=9+6(x-6)=6x-27(x6).(2)将x=8代人y=6x-27(x6),y=6×8-27=21(元).答:该户5月份的水费是21元.发散3如图6—5所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系.骑车者九点离开家,十五点回家.根据这个曲线图,回答下列问题:(1)到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(2)何时开始第一次休息?休息多长时间?(3)第一次休息时离家多远?(4)11:00到12:00他骑了多少千米?(5)他在9:00到10:00和10:00到10:30的平均速度是多少?(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?(7)他在停止前进后返回,骑了多少千米?返回时的平均速度是多少?解(1)到达离家最远的地方的时间是12时,离家30km;(2)10.5时开始第一次休息,休息了0.5h;(3)第一次休息时离家17.5km;(4)11:00到12:00,他骑了12.5km;(5)9:00到10:00的平均速度是lOkm/h,10:00到10:30的平均速度是15km/h;(6)从12:00到13:00间停止前进,并休息用午餐较为符合实际情况;(7)他在停止前进后返回,骑了30km,共用了2h,故返回时的平均速度是15km/h.知识整合网络【学习方法指导】量与量之间存在着相互影响的关系,本章通过丰富的现实情境引入变量对变量之间关系的讨论,使学生体验探索和表示变量之间关系的过程,获得对表格、关系式、图象等多种方法的认识,能读懂表格、关系式、图象所表示的信息,能用自己的语的描述表格、关系式和图象所表示的关系,并能预测.关系式是表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式,可以依据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.也可以依据因变量的值求出相应的自变量的值.由学习常量问题转入学习变量问题,这是数学思维的一种跃升,引导我们前进的是一种崭新的思维方式.【中考信息传递】近年来全国各省、市中考题中涉及本章内容的题型多为选择题、填空题,也有部分的应用题及因变量关于自变量的关系式的中档题,应该充分重视.【中考名题赏析】题型发散发散1填空题(1)观察下列图形(图6—24),若第①个图形中阴影部分的面积为1,第②个图形中阴影部分的面积为43,第③个图形中阴影部分的面积为169,第④个图形中阴影部分的面积为6427,…则第n个图形中阴影部分的面积为________(用字母n表示)(2002年潍坊市中考试题)解因为第1块图形的面积为1,第2块图形的面积为434312;第3块图形的面积为1694313;第4块图形的面积为64
本文标题:变量之间的关系单元知识总结
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