同济版第四章向量组的线性相关性的教案

第一节向量组及其线性组合一.教学重点：线性表示，向量组等价的充要条件二.教学目标：熟练掌握相关定义，定理。三.教学过程：1.定义1：n个有次序的数1n所组成的数组称为n维向量说明几个问题：111)nnT列向量，行向量。1212(,),TnnxxxxxxxRnn2)n维向量的全体所组成的集合R称为维向量空间。1211223)(,)1TnnnnnxxxxaxaxaxbRn维向量的集合叫的维超平面。14)nmnnma111nm1若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量组aa例如A=称为个维列向量的全体。a定义2：给定向量组1111,.mmmmikkRkkAkA:称为的一个线性组合。称为系数。11221mmmbkkk若称b能被线性表示。11()(,)mmRARbTh1.b能由A:线性表示证明：1mb能由A:线性表示11122mmmkkbkkk则存在使得即AX=b有解R(A)=R(A,b)定义3：若向量组A与B能相互表示则称向量组A与B等价。若B的每一个向量都可以由A表示，则称向量组B能由A线性表示。线性表示的系数矩阵11::mLABBA令若能由线性表示1112212(1,2)jjjjmjmmjkbkkkjLkmLijK=(k)称为线性表示的系数矩阵即B=AK由此可得11::LmBATh2.能由线性表示R(A)=R(A,B),7()(,)BAKThRARAB78证明：能由线性表示则存在使B=AK即AX=B有解,由P可得推论：,()()(,)ABRARBRAB等价23232311111210,,,21432301,,,,(,)bBAb111例1设证明：向量b能由线性表示，并求出表达式。分析：只要证A=与的秩相等即可。231111103212100121()(),,2143000023010000rBRARB1证明：b能由线性表示32322121,10cxcccc可取任意值。2323,,(32)(21)xccc11从而得表示式b=2232231321311011,,,1110213120,,bbbb1111例2，b证明：向量组，和b等价。1321313213110110211111102000001312000000()2,(.)202()()(,)rRARABBRARBRAB证明：(A,B)=可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故R(B)2,又R(B)R(A,B)=2,R(B)=2因此1113.::)LmLThBA设向量组能由线性表示，则R(1()mR说明几个问题12m例3设n维的向量组A:构成的nm的矩阵12)mA=(，12)nneeen阶单位矩阵E=(的列向量叫做维单位坐标向量。12().nneeeARAn证明：维单位坐标向量组能由向量组线性表示证明：由定理2向量组12neee能由向量组A线性表示的R(A)=R(A,E)而R(A,E)R(E)=n.又矩阵(A,E)含n行，知R(A,E)n,合起来有R(A,E)=n,因此R(A)=R(A,E)就有R(A)=n.说明几个问题1.nXEnm本例用方程的语言可叙述为A有解R(A)=n.nmQnm2.本例用矩阵的语言可叙述为，对矩阵A，存在矩阵,()RAmm使AQ=E()nmRAnnm对矩阵A，存在矩阵P,使PA=En3.mn当时，P,Q就是A的逆矩阵，上述结论可看作是逆矩阵概念的推广。5.本课小结：本节课的定义定理较多，要求同学们熟练掌握并学会应用6.作业：108，312121.::LmBbbbA向量组能由向量组线性表示有矩阵K,使B=AK有解。2.以上的各定理之间的对应是向量组与矩阵的对应。第二节向量组的线性相关性一.教学重点：线性相关的定义，性判断向量组的线性相关性。二.教学目标：用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能够判断向量组的线性相关性1212112122mnnmmmmmmBAbTH51)若向量组A:线性相关，则B:也线性相关，反之，若无关，则也无关。）个维的向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关，特别地n+1个n维的向量一定线性相关。3）设向量组A:线性无关。而向量组B:线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示。且表示式是唯一的。证明：略1234231234123例4.设向量组线性相关,向量组线性无关证明：1）能由线性表示。2）不能由线性表示.4232312312341231234234235Th证明：1）线性无关线性无关线性相关由能由线性表示.2)假设能由线性表示.又能由线性表示则能由线性表示，线性相关。矛盾。5.课堂小节用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能够判断向量组的线性相关性第三节向量组的秩一.教学重点：极大无关组的定义和它的等价定义，向量组的秩，矩阵的秩。二.教学目标：会求矩阵的秩和列（行）向量组的一个极大无关组。00.1:2rrAAAA111.定义：设在向量组A中，选取r个向量满足）线性无关。）向量组中任意r+1个向量线性相关，称为的一个最大无关组。说明几个问题1）向量组A的秩，就是最大无关组所含向量的个数即R(A)=r2)最大无关组不是唯一的123122313102011()27000,,R102例1241503)2AA定义中的第条等价于中的任意向量都可由线性表示从而得最大无关组的等价定义。0,:2rrrAAA10112.等价定义：设在向量组A中选取r个向量满足1）A线性无关）中的任意向量都可由线性表示称为的极大无关组。3.向量组的秩，矩阵的秩nn11若A中向量的个数是有限个则它们可以构成矩阵（）很容易得到。Th6矩阵的秩等于它的列向量组的秩（行也一样）。,nnn例1.全体n维向量构成的向量组记为R求R的一个极大无关组及R的秩。52)11nneThnen1n1解：E:e线性无关的，由知R中的任意个向量都线性相关，由定义，e即是R的一个极大无关组秩为n2341241234220230570xxxxxxxxxx1s例2.设齐次线性方程组x的全体解向量构成的向量组为s,求R解：1342341212103434230101232311570000xxxAxxx3142,xcxc令得通解121211223434231001xxccccxx即x=11221212,,,2sccccRR知s=xx=而不成比例线性无关由等价定义说明几个问题1)()(2ssRARnnR是自由未知量的个数））自由未知量的个数=未知量的个数-R(A)3.向量组的秩和矩阵的秩'8561422ThThThpThTh93由可以把上一节的推广过来与p等价,),),,,,BAABBBABcRABBARRRRRRABA（AA（例10B能由A线性表示，且R证明与等价。证明：能由线性表示而R，所以R从而等价。12112144622436979A2-1-1例11设矩阵A=求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组表示。24242424312244124124124124140111030001300000()30021246223679ARRkkkkkkkkkkkkkkk1111111-2解：A方法：取三个非零行的非零首元所在列111011（）线性无关。00101241124212441243252421121462203679433kkkkkkkkkkkkkkk11同理第四节线性方程组的解结构一.教学重点：用向量组线性相关的理论来讨论线性方程组的解二.教学目标：熟练掌握求齐次，非齐次线性方程组的通解的一般方法和步骤三.1)0nAX个未知数的齐次线性方程组有非零解R(A)n.2)()(.)nnAXbRARAbrn有唯一解个未知数的非齐次线性方程组有解有无限多解2.用线性相关的理论讨论线性方程组的解112211112211211112211110(1))()(1)0(2)0,(1)(2)nnTnnnnnnnnnxaxaxXxxAXaxaxaxxxxx11ij）齐次的a设A=(a若为的解。为的解向量。222211,(2)(2)()0(2),(2)00xxAXAAAkRk111111性质1.若x=为的解，则也是的解。证明：性质2.若x=为的解，则x=k也是的解。证明：A(k)=kA1220(2)ttAXkkx1结论：把的全体解所成的集合记为S，可用S的极大无关组表示S,由性质1.2=k这就是的通解。定义1.基础解系齐次线性方程组解集的极大无关组结论：要求通解只需求基础解系（不是唯一的）02()ARA0002）齐次方程组AX=0基础解系的求法1对作初等变换化为阶梯形（最好最简形）确定从而确定基础解系中的解向量个数n-R(A)3确定自由未知量（个数n-R(A)）4每次给一个自由未知量赋值1,其余为0。7Thnrs设mn矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组AX=0的解集S的秩，R234123412340253207730xxxxxxxxxxx1x例12的基础解系，通解。1343142234231077111154253201()2,()422777734000023231077775401547777ARAnRAxxxxxxxxxx解：及对应有及即得基12112234237754771001xxccxx12础解系，222,),)001,2(,)(),()()().lliilsssbbABAbbAbilBbSRbbRRBRRARnRARBnmnnl111例13.设AB=0,证明：R(A)+R(B)n.证明：记B=(b(b即从而的列向量全是A