北京市房山区2016届高三第二次(4月)模拟数学理试题(有答案)

房山区2016年高三二模数学（理科）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{1,2,3,4,5},{0,2,4},MNPMN===，则P的子集共有（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个（2）若,xy满足0,1,0.xyxyy则2zxy=+的最大值为（A）0（B）1（C）2（D）2（3）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（A）3（B）4（C）5（D）6（4）在61()2xx的展开式中，4x的系数为（A）3（B）12（C）3（D）6（5）设函数2()sinfxaxx=+，若(1)2f=，则(1)f-=（A）2（B）-2（C）1（D）0（6）多面体MNABCD-的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长为（A）3（B）5（C）6（D）22（7）已知等差数列{}na满足*naN，且前10项和10290S，则9a的最大值为（A）29（B）49（C）50（D）58（8）为促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价.其标准如下表：用户类别分档电量（千瓦时/户.月）电价标准（元/千瓦时）试行阶梯电价的用户一档1-240（含）0.4883二档241-400（含）0.5383三档400以上0.7883北京市某户居民2016年1月的平均电费为0.4983（元/千瓦时），则该用户1月份的用电量为（A）350千瓦时（B）300千瓦时（C）250千瓦时（D）200千瓦时二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）定积分121xdx的值为___.（10）已知PA是圆O的切线，切点为A，2PA，AC是圆O的直径，PC交圆O于点圆B，∠30PAB°，则圆O的半径为___.（11）已知:,:13pxmqx，若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是___.（12）抛物线28yx的准线l的方程为____，若直线l过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为___.（13）直线ykx=与函数tan()22yxx的图象交于,MN(不与坐标原点O重合)两点，点A的坐标为(,0)2，则()AMANAO___.（14）已知函数2,0,()1log,0.axfxxxx①若1a=，且关于x的方程()fxk=有两个不同的实根，则实数k的取值范围是___；②若关于x的方程(())0ffx=有且只有一个实根，则实数a的取值范围是___.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，3,cos45CADC．（Ⅰ）求sinADB的值；（Ⅱ）若25BDDC，求△ABD的面积．（16）（本小题13分）随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有2名男生和2名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出部分学生进行展示．（Ⅰ）若要从参加冬令营的这8名学生中任选4名，求选出的4名学生中有女生的概率；（Ⅱ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选2名，设随机变量X表示选出的女生人数，求X的分布列和数学期望．（17）（本小题14分）如图，已知直角梯形ACEF与等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，EFAC∥，12EFAC=，ECAC，112ADDCCBCEAB=====．（Ⅰ）证明：BCAE；（Ⅱ）求二面角DBEF--的余弦值；（Ⅲ）判断直线DF与平面BCE的位置关系，并说明理由．FEDCBAADBC（18）（本小题13分）已知函数2()(0)xaefxax.（Ⅰ）当1a=时，求函数fx的单调区间；（Ⅱ）设2()()lngxfxxx，若()gx在区间(0,2)上有两个极值点，求实数a的取值范围.（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,1)，且长轴长是焦距的2倍.过椭圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.（20）（本小题13分）已知函数2()(1)1xfxxx，数列{}na满足1(1)amm，1()nnafa．（Ⅰ）当1m时，写出数列{}na的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数m，使得数列{}na是等比数列？若存在，求出所有符合要求的m的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当102m时，求证：111()2niiiaam.（其中是求乘积符号，如5112345ii，121niniaaaa）房山区2016年高考二模数学（理）答案及评分标准201604一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BDCADCCB二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分）9.2310.311.3m12.222,13yxx13.2214.[1,0),(1,0)(0,)三、解答题：本大题共6小题,共80分．15（共13分）解：（Ⅰ）因为3cos5C，C是三角形内角所以24sin1cos5CC．………2分又因为4CAD，所以4ADBC．sinsin()sincoscossin444ADBCCC…………………5分423272525210．…………………7分（Ⅱ）在ACD中，由sinsinDCADCADC=行，…………………9分得54sin2522sin22DCCADCAD．…………………11分所以1172sin22572210ABDSADBDADB……………13分16（共13分）（Ⅰ）从参加冬令营的8名学生中任选4名，有女生的概率为454841318764144321C1C…………………3分ADBC（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0,1,2,3，…………………4分2232224431(0)3612CCPXCC====1122113123222244155(1)3612CCCCCCPXCC+====11122322322244155(2)3612CCCCCPXCC+====112312224431(3)3612CCCPXCC====…………………………………8分所以X的分布列为X0123P112512512112…………………………………10分15513123121212122EX0…………………13分17（共14分）（Ⅰ）取AB中点G，连结CG，由已知可得ADCG是平行四边形，所以12CGADAB==，所以ACBC^…………………1分又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC=所以BC平面ACEF，…………………3分又AEÌ平面ACEF，所以BCAE^…………………4分（Ⅱ）因为平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC=ECAC所以EC^平面ABCD，由（Ⅰ）知ACBC^如图，以C为坐标原点，以,,CACBCE为,,xyz轴建立空间直角坐标系，…………………5分331(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(,0,1),(,,0)222CBEFD-zyxGABCDEF333(,0,0),(0,1,1),(,,0)222EFBEBD==-=-设平面BCE的法向量为(,,)nxyz=，则00nEFnBE即3020xyz所以(0,1,1)n=…………………7分设平面BDE的法向量为(,,)mxyz=，则00mBDmBE即330220xyyz所以(3,1,1)m=…………………9分210cos,525mnmnmn×===…………………11分所以二面角DBEF--的余弦值为105（Ⅲ）直线DF与平面BCE平行．…………………12分平面BCE的法向量为(1,0,0)t=，1(0,,1)2DF=因为0tDF所以tDF所以DF平面BCE………………………………14分18（共13分）解：（Ⅰ）当1a=时，2()xefxx24432(2)(2)'()(0)xxxxxexeexxexfxxxxx…………2分令'()0fx得2x,(),()xfxf'x变化情况x(,0)-?0(0,2)2(2,)+?()f'x+-+()fx增减增所以函数()fx增区间为(,0)，(2,)，减区间为(0,2)………………………………5分（Ⅱ）方法一：22()lnxaegxxxx323221()(2)'()xxxaxeaeaexxgxxxxx………7分当(0,2)x时，320,0xx若()gx在(0,2)上有两个极值点，'()gx在(0,2)上至少有两零点，即方程0xaex在(0,2)上至少有两个不等实根，即方程xxae在(0,2)上至少有两个不等实根设()((0,2))xxFxxe，21'()xxxxexexFxee………8分解'()0Fx的1x()Fx在(0,1)上单增，在(1,2)上单减所以()Fx在(0,2)上的最大值为1(1)Fe又22(0)0,(2)FFe………………………………10分所以要使方程xxae有两个不等实根，a的取值范围为221(,)ee…………………………………11分设()xhxaex，解'()10xhxae得1lnxa当221(,)aee时，1ln(0,2)xa且()hx在1(0,ln)a单调递减；在1(ln2)a，单调递增．设1212,()xxxx为方程0xaex的两个不等实根，则在1(0,)x上()0hx，在12(,)xx上()0hx，在2(,2)x上()0hx所以在1(0,)x上()0gx，在12(,)xx上()0gx，在2(,2)x上()0gx即12,xx为()gx的两个极值点综上所述，()gx在(0,2)内存在两个极值点时，a的取值范围为221(,)ee.………………………………………13分方法二：（Ⅱ）22()lnxaegxxxx，323221()(2)'()xxxaxeaeaexxgxxxxx因为()gx在(0,2)上有两个极值点，所以'()gx在(0,2)上至少有两零点，所以方程0xaex，即方程1xxea在(0,2)上至少有两个不等实根，所以直线1yxa与曲线()xhxe在(0,2)上有两个不同的交点因为2(2)he，所以过点2(2,)Pe和(0,0)O的直线的斜率212ek设过点(0,0)O的直线l与曲线()xhxe相切于点00(,)xxe因为'()xhxe，所以直线l的斜率00xke所以直线l的方程为000()xxyeexx因为直线l过点(0,0)O，所以01x，所以0ke因为直线1yxa与曲线()xhxe在(0,2)上有两个不同的交点所以212eea，即221aee设1212,()xxxx为直线1yxa与曲线()xhxe在(0,2)上两个交点的横坐标，显然在1(0,)x上10xexa，在12(,)xx上10xexa，在2(,2)x上10xexa所以在1(0,)x上()0gx，在12(,)xx上()0gx