高中数学选修2-1知识总结

选修2-1复习习主席的三句话你的责任就是你的方向，你的经历就是你的资本，你的性格就是你的命运。•复杂的事情简单做，你就是专家；简单的事情重复做，你就是行家；重复的事情用心做，你就是赢家。•美好是属于自信者的，机会是属于开拓者的，奇迹是属于执著者的！你若不想做，总会找到借口；你若想做，总会找到方法。pq（1）如果，则说p是q的充分条件，（1、充分条件或说q是p的与必必要条件：要条件）pqqppqpq（2）如果既有，又有就记做则说是的充要条件（4）互为逆否命题的两个命题同真假(3)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件等价于非q是非p的充分不必要条件等价于非p是非q必要不充分条件若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p、q互为充要条件若AB，且BA，则p是q的既不充分又不必要条件2020/1/5这里的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词。复合命题的真假可用如下真值表来表示：真假假假假真真假真假假真假假真假真真真真¬pp∨qp∧qqp2、简单逻辑联结词四种命题及相互关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q则p互逆互逆互否互否互为逆否(1)含有一个量词的特称命题的否定xM,p(x)特称命题:p它的否定:pxM,p(x)(2)含有一个量词的全称命题的否定xM,p(x)全称命题:p它的否定:pxM,p(x)3、含有一个量词的命题的否定典例：已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等正根,命题q:方程x2+4(m-2)x+4=0无实根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m的取值范围.分析：p为真则q为真则P或q为真，p且q为假，则p,q一真一假P真q假则：P假q真则综上m的取值范围是24020mmm{|2}{|13}{|2}UmmCmmmmI{|2}{|13}{|13}UCmmmmmmI(1,3)(,2)U216(2)16013mm设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.与充要条件有关的参数问题解：设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即ABÜ，易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}.12解之,得110,0,22aa或≤≤即10.2a≤≤≤≥11,,2211.11.aaaa或故所求实数a的取值范围是1[0,].2从而p是q的充分不必要条件，即.ABÜ�4、求曲线方程（1）一般步骤：建（建立坐标系）设（点坐标）限（找限制条件）代（代入坐标）化（化简方程）验（方程与轨迹的关系）（2）一般方法：直接法、定义法、相关点代入法，参数法2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹(到两个距离之比为常数（小于1）或者到两个定点斜之积为常数（为负数）)12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断5、椭圆的标准方程xyF1F2POxyF1F2PO标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx焦点三角形面积公式直线与椭圆的位置关系的判定代数方法1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组(1)△0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与椭圆相离无公共点．通法知识点1.直线与椭圆的位置关系注：通径的有关性质设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．弦长公式：221||1||1||ABABABkxxyyk知识点2：弦长公式当直线斜率不存在时,则12AByy.可推广到任意二次曲线知识点3：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．112200(,),(,),(,)AxyBxyABMxy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122(,),(,)AxyBxy在椭圆上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa即2111221211AByyxxbkxxayy2020xbay直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．例5：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造知识点3：中点弦问题例5已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差例5已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。221axby22,AB22oxyABM22110axbyxy解:2)210yabxbxb消得:(2)(1)0babb=4-4(abab1122(,),(,)AxyBxy设121221,bbxxxxabab(,)baABMabab中点2212121()4ABkxxxx又MOakb222ba221222()4bbabab12,33ab定义图象方程焦点a.b.c的关系1212202MFMFaaFF，22221xyab22221yxab,0Fc0,Fc222cab谁正谁对应a6、双曲线的标准方程关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率1(0)xyabab2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）100yx(a,b)ab2222≥≤yayaxR，或关于x轴、y轴、原点对称(1)ceea渐近线ayxb..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)≥≤xaxayR，或(1)ceeabyxa离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大(动画演示)⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比cea,叫做双曲线的离心率.⑵e的范围:ca0e1⑶e的含义:2222()11bcaceaaa∴当(1,)e时,(0,)ba,且e增大,ba也增大.e增大时,渐近线与实轴的夹角增大.同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.另外(4)等轴双曲线的离心率e=?2,∵222,ceabca⑸在、、、abce四个参数中,知二求二.渐近线方程?22222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab共渐近线的双曲线系：渐近线方程为：即的双曲线方程可设为：时表示焦点在轴上的双曲线；时表示焦点在轴上的双曲线；与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为：(3)通径的性质？(4)焦点到渐近线的距离总为b消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，直线L（K=）与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离直线与双曲线的位置关系ab图象开口方向标准方程焦点准线向右向左向上向下﹒yxo﹒yxoyxo﹒yxo﹒22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp2px(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF2px2py2py7.抛物线及其标准方程结论:则;2p（6）以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F.抛物线的焦点F在x轴上，A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px，(p＞0)，∵A点在抛物线上∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm，∴m＝±92p①又|AF|＝2p＋|m|＝5②把①代入②可得922pp＝5即p2－10p＋9＝0∴p＝1或p＝9∴所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x．直线与抛物线的位置关系的判定ax2+bx+c=00方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点0相交方程组有两解两个交点=b2-4acAx+By+C=0由方程组：y2=2px1.a=0时2.a≠0时方程组有一解一个交点方程组有一解.FxOy8.平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba(k0)ka(k0)k向量的数乘a9.空间向量的有关定理共线向量共面向量定义向量的基线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用,,pabpxayb共面urrrurrruuuruuurAPABuuuruuuruuurOPmOAnOB//R,ababrrrrA,P,B三点共线uuuruuuruuurAPxAByACuuuruuuruuurOPOAABP,A,B,C四点共面uuuruuuruuuruuurOPxOAyOBzOCuuuruuuruuuruuurOPOAxAByAC(A,B,C三点不共线)判断三点共线,或两直线平行判断四点共面,或直线平行于平面10.空间向量的有关定理及重要结论babababababababaaaOAaOA,cos,,,cos,,,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设11、空间向量的数量积（1）定义aaababaeaaea