剪力与弯矩的计算方法

§7-2剪力与弯矩一、剪力和弯矩根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A支座距离为x的mm截面上的内力。图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：①、首先根据静力平衡方程求支座反力AyF和ByF，为推导计算的一般过程，暂且用AyF和ByF代替。②、用截面假想沿mm处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。从图7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力AyF、向下的已知力1P作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在mm截面上必定存在一个竖直方向的内力SF与之平衡；同时，AyF、1P对mm截面形心O点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在mm截面上必须有一个力偶矩M与之平衡，才能保持左段梁的平衡。SF和M即为梁横截面上的内力，其中内力SF使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。剪力SF和弯矩M的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。由0Y得：10AySFPF，得1SAyFFP由0oM得：01MaxPxFAy得axPxFMAy1如图7-8c所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得mm截面的剪力SF和弯矩M。根据作用力与反作用力原理，右段梁在mm截面上的剪力SF和弯矩M与左段梁在mm截面上的剪力SF和弯矩M应大小相等，方向相反。二、剪力与弯矩的正负号规定从上面的分析可知，用截面法将梁切开分成两段，同一截面上的内力，取左段梁为脱离体和取右段梁为脱离体所得结果虽然数值相等，但方向却是相反的，为此根据剪力和弯矩引起梁的变形情况来规定它们的正负号。图7-9剪力、弯矩的符号规定①、剪力正负号的规定如图7-9a、7-9b所示，在横截面mm处，从梁中取出一微段，若剪力SF使微段顺时针方向转动，则该截面上的剪力为正；反之为负。②、弯矩正负号的规定如图7-9c、7-9d所示，在横截面mm处，从梁中取出一微段，若弯矩M使微段产生向下凸的变形，即上部受压，下部受拉，则该截面上的弯矩为正；反之为负。为方便起见，在计算时通常将剪力和弯矩假设成正方向，它的实际方向根据最后计算结果的正负号来确定，如果计算结果为正，则说明实际方向与假设方向相同；否则，相反。三、用截面法求指定截面上的内力下面举例说明用截面法求梁指定截面上的内力。例7-1如图7-10a所示外伸梁，试计算1-1、2-2和3-3截面上的剪力和弯矩。图7-10外伸梁指定截面的内力计算解：①、求梁的支座反力AyF和ByF，根据梁的整体平衡方程：由0AM，035636ByF，得kNFBy5.14由0Y，063ByAyFF，得kNFAy5.3②、求1-1截面上的内力在1-1截面处将梁切开成左右两段，取左段为脱离体，受力图如图7-10b所示，将剪力1SF、弯矩1M的方向都按规定的正方向标出。根据脱离体的平衡方程得：由0Y，10AySFF，得13.5SAyFFkN由所有外力对1-1截面的形心取矩010M：011MFAy，得mkNFMAy.5.311求得1-1截面的剪力1SF及弯矩1M均为正值，表示所假设的1SF及1M的方向与实际方向相同，在脱离体上，剪力和弯矩的方向一律设为正向，计算结果为正则内力就为正，计算结果为负则内力就为负。③、求2-2截面上的内力在2-2截面处将梁切开成左右两段，取左段为脱离体，受力图如图7-10c所示，将剪力2SF、弯矩2M的方向都按规定的正方向标出。根据脱离体的平衡方程得：由0Y，2320AySFF，得262.5SAyFFkN由所有外力对2-2截面的形心取矩020M：0123342MFAy，得mkNFMAy.5123342求得2-2截面的剪力2SF为负值，表示所假设2SF的方向与实际方向相反。④、求3-3截面上的内力在3-3截面处将梁切开成左右两段，如果取左段为脱离体进行计算，则作用在左段上的载荷较多，计算要麻烦一些，为方便起见，通常取受力较简单的右段进行计算，受力图如图7-10d所示，将剪力3SF、弯矩3M的方向都按规定假设成正方向，根据脱离体的平衡方程得：由0Y，3310SF，得33SFkN由所有外力对3-3截面的形心取矩030M：02/1133M，得mkNM.5.12/33求得3-3截面的弯矩3M为负值，表示所假设3M的方向与实际方向相反。由上面例题看出，截面上的剪力和弯矩与梁上外力之间存在着下列关系：①、梁内任一横截面上的剪力SF，在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力的代数和。②、梁内任一横截面上的弯矩M，在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心力矩的代数和。从上面例题看出，剪力和弯矩的正负号还可以由外力方向直接来确定：①、截面左侧向上的外力与截面右侧向下的外力引起该截面的剪力为正，反之为负。②、截面左侧与截面右侧向上的外力引起该截面上的弯矩为正，反之为负。当取左段进行分析时，任意截面的剪力等于所有向上的载荷减去所有向下的载荷，即：SF（7-1）如果取右段进行分析时，则有：SF，（也即SF）；当取左段（或右段）进行分析时，任意截面的弯矩等于所有产生向上的线位移的力对该点之矩减去所有产生向下的线位移的力对该点之矩，即：M（7-2）利用式71、72可以直接写出指定截面的剪力和弯矩。四、计算剪力、弯矩的简便方法利用上面的关系，可以直接根据作用在梁上的外力计算出任意截面的剪力、弯矩，从而省去取脱离体列平衡方程的步骤，使计算过程简化。例7-2计算图7-11所示梁1-1和2-2截上的内力。解：①、求支座反力由梁的整体平衡方程:0BM：36210AyF，得kNFAy4如果每次取左段进行分析，则可以不必计算右端的支座反力ByF。图7-11一简支梁的计算简图利用式71、72，可以直接得到1-1、2-2截面的剪力、弯矩：14SAyFFkN2612SAyFFkN特别注意：当取左段进行分析时，支座反力AyF向上，取正号，均布载荷向下，取负号。114.AyMFkNm22611/25.AyMFkNm支座反力AyF使左段梁产生向上的线位移，所以其力矩为正，均布载荷使左段梁产生向下的线位移，其力矩为负。直接由梁上的外力计算内力的简便方法，其实质仍然是截面法，应熟练掌握。