数学物理方法试卷合集

华中师范大学2007–2008学年第一学期期末考试A卷参考答案院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------课程名称数学物理方法课程编号83810012任课教师吴少平题型选择题填空题证明题计算题总分分值12181060100得分得分评阅人一、问答题：（共4题，每题3分，共12分）1．复变函数22wxiyy是否为解析函数？为什么？答：因为，由C-R条件有2,0,0,2xyxyuxuvvxy，即函数仅在直线上可导，不满足解析函数的条件，所以原函数不是解析函数。yx2．设函数()fz在环域21RzbR内解析，则()fz的罗朗展开式()()kfzazb中的系数a能否写成k()()!kkfbka的形式？为什么？答：罗朗级数中积分表达式与泰勒级数的积分表达式相同，但罗朗级数中()()!kkfbak。因为高阶导数公式要求f(z)解析才成立。而在此f(z)仅在区域内21RzbR解析，所以罗朗展开式中系数的积分形式不能写成微分形式。3．函数sin()zfzz在有限远处的孤立奇点属于什么类型？在奇点处的留数为多少？答：sin()zfzz在有限远处的孤立奇点为0z，它属于可去奇点。它在奇点处的留数为0。0z4．在分离变量法中引入的常数如何确定？斯图姆—刘维尔型本征值有何特点？答：在分离变量法中引入的常数可通过求解本征值问题而确定。斯图姆—刘维尔型本征值的特点为：存在无穷多个、分立的、实的本征值；所有本征值都是非负的。得分评阅人二、填空题：（共5题，每空3分，共18分）1．函数按勒让德多项式的展开式为2)(xxf)(xPl2x0212()()33PxPx。2．在一维问题中，第一类齐次边界条件为0),0(tu。若u代表温度，则边界条件的物理意义为杆的左端保持为零度；若u代表位移，则边界条件的物理意义为弦的左端固定。3．傅里叶变换的卷积定理为)]()([21xfxfF12()()fkfk。4．函数tcos的拉普拉斯变换为][costL22(Re0)ppp。5．积分dxxx)(cos1。得分评阅人三、证明题：（共1题，共10分）试证明正交归一关系：，其中mnllkkildemn2)(),2,1,0,(,nmlmklnkmn。证明：0112lilnmedl当时，()/()/()/11[]22()12()0llinmlinmlllinmllllnmeddellinmeinm当时，因此有：mnllkkildemn2)(第1页(共3页)得分评阅人四、计算题：（共4题，前3题各16分，第4题12分，共60分）1．试用级数解法求解在邻域内00z0''zww的解，其初始条件为0)0(',1)0(ww。解：（1）解的形式。系数()0,()pzqzz00z在解析，是方程的常点，所以0z解的形式为：0()kkkwzcz（2）系数递推公式。将代入方程，得：()wz2120(1)kkkkkkkkczcz0102212[(2)(1)]kkkkckkccz1220,(2)(1kkccckk)即3(1kkcckk)，亦即3333(31)kkcckk。(a)用c表示03kc33363013(31)3(31)(33)(34)13(31)(33)(34)6532kkkccckkkkkkckkkk(b)用c表示c131k323531113(31)3(31)(32)(33)1(31)3(32)(33)7643kkkccckkkkkkckkkk因c，故cc20580（3）方程的通解：3301011()3(31)6532(31)37643kkkkczczwzczkkkk1)（4）由初始条件定及解。因01,cc1(0)0(0ww，所以0110cc所以方程的解为：31()13(31)6532kkzwzkk2．长为l的杆，一端固定，另一端受力而被拉长，求杆在去掉力后的振动。设杆的截面积为S，杨氏模量为Y。0F0F解：（1）定解问题为：20uauttxxu(0,t)=0，u(,)0ltx0u(,0)FxxYS，u(,0)0xt初始条件0u(,0)FxxYS，根据胡克定律(0,)x段的相对伸长为u(,0)u(0,0)xx，故u(,0)u(0,0)u(,0)0FxxPYYSxx)(0X端固定0u(,0)FxxYS（2）由泛定方程及边界条件可得：1(n+)2X(x)=sinnxl，(2n+1)2()=[]n2xl（3）通解为：212121(,)[cos()sin()]sin()220nnuxtAatBatxnnlln2nl（4）定系数。由u(得：,0)0xtB0n由210u(,0)sin()20FxnxAxnYSln得：(1)82(21)00sin222(21)nlFnxFxlAdxcnllYSYSn1最后得方程的解为：08(1)(21)(21)0(,)cossin2222(21)nnFlnatnuxtllYSnx第2页(共3页)3．若单位球面上电势分布为，求单位球内、外空间的电势分布。2cos),1(u解：（1）定解问题为221212212(,)0,(,)0(0,)(,)0(1,)(1,)cosuRuRuuuu有界，（2）对称性与通解形式。由于轴对称性，通解为110210(,)()(cos)(,)()(cos)llllllllllllbuRaRPRduRcRPR（3）由边界条件和边值关系定系数。由1010(,)()(cos)llllRllbuR，得aRPR有界0lb，即10(,)(cos)lllluRaRP。由cos210(1,)(cos)llluaP及22031(cos)cos(cos)22PP，可得20021(cos)(cos)(cos)33lllaPPP由(cos)lP的正交性，得到0212,,0(0,33laaal2)，因此球内电势为22121211(,)(cos)(cos)3333uRRPR2)由0(20,)(cosllludP及22021cos(cos)(cos)33PP得0212,,33l0ddd(l0,2)。由此得到球外电势为222312113cos1(,)(cos)()333uRPRRRR4．试用拉普拉斯变换法求方程''yyt满足初始条件(0)1,'(0)2yy的解。解：设[()]()LytYp。对原方程的两边取拉普拉斯变换，并考虑到初始条件，则有：[''][][]LyLyLt即221()2()pYppYpp由上式解得：22213()11pYpppp再由上式取拉普拉斯逆变换得：122213()[]11cos3sinpytLpppttt或者：利用展开定理进行计算。由于当p，()fp一致地趋于零，且()fp只有三个孤立奇点：0（二阶极点）、（一阶极点），所以,ii2222220()Re[(),]13Lim(0)Lim()()Lim()()(21)!1111cos3sinptkkptptptppipiytsypebdepp3ppiepiedppppppttt第3页(共3页)华中师范大学2007–2008学年第一学期期末考试B卷参考答案课程名称数学物理方法课程编号83810012任课教师吴少平题型问答题填空题证明题计算题总分分值12181060100得分得分评阅人一、问答题：（共4题，每题3分，共12分）1．z=0和z=的辐角有无意义？为什么？答：复数可以有无限多个辐角，所以z=0的辐角无意义。作变换1zt，当t=0时，即z=，如前所述，t=0的辐角无意义，因此z=的辐角也无意义。2．复变函数是否为解析函数？为什么？*wzz答：，于是复变函数的实部和虚部分别为*2wzziy0u，v2y，它们不满足CR条件，所以原函数不是解析函数。3．函数2sinzz在有限远处的奇点是什么？奇点属于什么类型？答：函数在有限远处的奇点是。奇点0z0z为一阶极点。4．分离变量法的一个重要步骤是什么？由此步骤可以得到什么？答：分离变量法的一个重要步骤是求解本征值问题。通过求解本征值问题，可以得到本征值和本征函数。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------得分评阅人二、填空题：（共5题，每空3分，共18分）1．函数第1页(共3页)2153)(2xxxf按勒让德多项式的展开式为)(xPl011()5222fxPPP。2．在一维问题中，第二类齐次边界条件为0),0(tux。若u代表温度，则边界条件的物理意义为左端绝热；若代表位移，则边界条件的物理意义为u左端自由。3．函数)0()0()(xexeexfxxx的傅里叶变换为)]([xfF221k。4．拉普拉斯变换的卷积定理为)]()([21xfxfL12[()][()]LfxLfx。5．积分dxxx)2()sin(1。得分评阅人三、证明题：（10分）试证明：221()[()()]2xaxaxaa22。证：令()xxa，则()0xaa只有单根和'()2aa，且'()2aa、，由δ函数的性质5：若()x为连续函数，且()x0只有单根(1,2,,)kxkN，则1()[()]Nk'()kkxxxx，可得22()()1()[()('()'()2xaxa)]xaxaaaaxa得分评阅人四、计算题：（共4题，前3题各16分，第4题12分，共60分。）1．试用级数解法求解在邻域内00z0''zww的解，其初始条件为。1)0(',0)0(ww解：（1）解的形式。系数()0,()pzqzz00在z解析，是方程的常点，所以0z解的形式为：wz0()kkkcz（2）系数递推公式。将代入方程，得：()wz2120(1)0kkkkkkkkczcz2212[3(2)(1)]kkkkckkccz101220,(2)(1kkccckk)即3(1)kkcckk，亦即3333(31)kkcckk。(a)用c表示c03k33363013(31)3(31)(33)(34)13(31)(33)(34)6532kkkccckkkkkkckkkk(b)