典型图像变换

1典型图像变换近年使用较多的几种图像变换Gabor变换哈尔变换小波变换霍特林变换26.1.1短时傅里叶变换6.1.2连续Gabor变换6.1.3离散Gabor表达Gabor变换3FT在信号处理中的局限性：Fourier变换研究时域信号频谱特性，必须要获得时域中的全部信息Fourier变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况6.1.1短时傅立叶变换4提出与基本思想鉴于傅立叶变换的缺陷提出窗函数的思想，提出一个灵活可变的时间—频率窗，使得在这个窗内能够体现频率的信息，这种信号分析方法称为时间—频率分析。而窗固定的时间—频率分析方法即为短时傅立叶变换。短时傅立叶变换（STFT）主要思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅立叶变换，加窗后使得变换为时间t附近的很小时间上的局部谱，窗函数可以根据t的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱实现时间局域化。5STFT定义1946年，Gabor提出了STFT，给定一信号，其STFT定义为：短时谱的特点：1)时变性：既是角频率的函数又是时间t的函数。2)周期性：是关于的周期函数，周期为2.jjxetmxdetmxtS)(),()()(),(窗函数ddetmtStxjx)(),(21)(6公式涵义：在时域用窗函数去截信号，对截下来的局部信号做FT，即在t时刻得该段信号的傅立叶变换，不断移动t，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换，这些傅立叶变换的集合，即是STFT可以看成是用基函数来代替FT中的基函数。),(tSxjtetmm)()(,78对两边做傅立叶变换，有jtetmm)()(,tvjtvjtvjjvjtevMtdetmedeetmvM)()()(,)()()()(dvevMvXedvevMvXtSjvttjtvjx)()(21)()(21),()(信号谱窗谱对在时域加窗，引导在频域对加窗)(x)(tm)(vX)(mvM9刻画窗函数的两个重要参数时域窗(1)中心：(2)半径：tdtttt232)()(1*2/1222)(*)()(1tdtttt10频率窗函数F(w)中心为*，半径为FFFd222)()(1*2/1222)(*)()(1FFFd11对函数其中心为t*半径为，对的傅立叶变换F设其中心为*，半径为F矩形[t*-,t*-]×[*-F,*-F]称为函数的时频窗。该窗的面积为(2)(2F)根据不确定性原理等号仅在(t)和F()为高斯函数时成立。2/1F12不可能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号，必须在信号的分析上对时间或者频率的精度做取舍。当利用STFT时，若我们希望能得到好的时—频分辨率，或好的时—频定位，应选取时宽、带宽都比较窄的窗函数，遗憾的是，无法同时为最小。对快变信号，希望有好的时间分辨率，时宽要小，但对该信号的频域分辨率必定下降。慢变信号对应低频信号，希望在低频处有较好的频率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。13窗函数的特点：随着的变化，窗口在空间不断平移；短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口来提取被变换函数的信息；函数族确定的时频窗口只是随发生平移，窗口的大小和形状固定不变。tm,tm,,t,t1415用高斯函数作为窗函数t*=*=0，ga=a和Ga=1/2a。可知gaGa=1/2，即达到了不确定性原理所给出的下限f(t)在时间窗中的信息6.1.2Gabor变换021)(4/2aeatgata0)(2aewGwaabtbt**,)()()()()(21),(*1*bvFedevFevbfGjvbjbjvbFFF16Gabor变换其中–∞≤b,≤∞离散形式大尺度分辨率高，小尺度分辨率低6.1.3离散Gabor表达dteetfadtebtgtfbfGtjabttjaga4/)(*2)(21)()(),()(),()(),()()(),(,*ttfebtgtfdebtgtfbfGkntjnatjnakngkka17√哈尔函数是一种正交归一化函数，在图像信息压缩和特征编码等方面应用，特点是收敛均匀而迅速。√哈尔函数是由Haar提出的一种正交完备函数系；是一种既反映整体又反映局部的函数；它是小波变换中的典型小波。√哈尔变换具有尺度和位移两个特性；变换范围窄；其变换特性与图像中的边界或线条的特性十分接近，因此图像中的边缘和线条经哈尔变换后，会产生较大的变换系数，而其它区划的变换系数小。6.2哈尔变换18哈尔函数hk(z)k=0,1,2,…,N–1，N=2n整数k可被唯一地分解成：其中0≤p≤n–1当p=0时，q=0或q=1当p0时，1≤q≤2p例：对N=4，当k=0时有p=0和q=0当k=1时有p=0和q=16.2哈尔变换12qkpkpq00010121131219哈尔函数hk(z)k=0,1,2,…,N–1，N=2n6.2哈尔变换1,01)()(000zNzhzh当其它≤≤0222122212121)()(22pppppppqkqzqqzqNzhzh20哈尔矩阵对1个NN矩阵，其第i行由z=0/N，1/N，…，(N–1)/N的hi(z)的元素构成例：N=2N=46.2哈尔变换1111212120212011002hhhhH2200002211111111414H21HaarTransform有以下几点特性：1.不需要乘法（只有相加或加减）2.输入与输出个数相同3.频率只分为低频（直流值）与高频（1和-1）部分4.可以分析一个信号的Localizedfeature5.运算速度极快，但不适合用于信号分析6.大部分运算为0，不用计算7.维度小，使用的memory少8.因为大部分为高频，转换较笼统对一矩阵做哈尔小波转换的公式为，其中A为一N×N的区块且H为N点的哈尔小波转换。而反哈尔小波转换为。THAHAHHT22傅里叶变换与小波变换频域分析具有很好的全局性，但没有局部化功能。傅里叶变换反映的是图像的整体特征。一个乐谱，不光阐明了要演奏的音符（或频率），而且阐明了何时要演奏。而傅里叶变换，只提供了音符或频率信息，局部信息在变换过程中丢失了。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。23246.3小波变换小波变换使得图像压缩、传输和分析变得更快捷！1小波介绍2背景3多分辨率展开4一维小波变换5快速小波变换6二维小波变换251小波介绍1.1什么是小波1.2小波简史2背景3多分辨率展开4一维小波变换5快速小波变换6二维小波变换本章内容26什么是小波变换6.3.1小波介绍272829303132331小波介绍2背景图像金字塔子带编码哈尔变换3多分辨率展开4一维小波变换5快速小波变换6二维小波变换7小波包本章内容346.3.2背景为什么需要多分辨率分析？如果物体的尺寸很小或对比度不高高分辨率如果物体尺寸很大获对比度很强低分辨率通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在35图像金字塔一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合一个金字塔图像结构金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。36高斯和拉普拉斯金字塔编码首先对图像用5*5的高斯模板作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失37高斯和拉普拉斯金字塔编码拉普拉斯金字塔编码策略383940子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量，称为子带子带可以重组在一起无失真地重建原始信号子带带宽原始图像带宽，可以进行无信息损失的抽样原始图像的重建可以通过内插、滤波和叠加单个子带完成。子带编码41对每个子带分别编码的好处是：（1）可以利用人耳（或人眼）对不同频率信号的感知灵敏度不同的特性，在人的听觉（或视觉）不敏感的频段采用较粗糙的量化，从而达到数据压缩的目的。例如，在声音低频子带中，为了保护音调和共振峰的结构，就要求用较小的量化阶、较多的量化级数，即分配较多的比特数来表示样本值。而话音中的摩擦音和类似噪声的声音，通常出现在高频子带中，对它分配较少的比特数。（2）各个子带的量化噪声都束缚在本子带内，这就可以避免能量较小的频带内的信号被其他频带中量化噪声所掩盖。（3）通过频带分裂，各个子带的取样频率可以成倍下降。例如，若分成频谱面积相同的N个子带，则每个子带的取样频率可以降为原始信号取样频率的1/N，因而可以减少硬件实现的难度，并便于并行处理。42在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。子带通过对输入进行带通滤波而得到。双通道子带编码和重建43•完美重建滤波器族•QMF正交镜像滤波器•CQF共轭正交滤波器44子带图像编码的二维4频段滤波器组4546473哈尔变换哈尔变换哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：T=HFH48变换矩阵H包含基函数，它定义在连续闭区间)(zhknNNkz21,...,2,1,0,1,0其它pppppppqkqzqqzqNzhzhzNzhzh2/2/)5.0(2/)5.0(2/)1(0221)()(1,0,1)(22000ppqpqpnpqk210100,1012时，或时，49N=4时kpq0001012113122200002211111111414H50N=2时1111212H51哈尔基函数对图像的多分辨率分解1、其局部统计数据相对稳定；2、大多数值为零，便于压缩；3、原始图像的粗和细分辨率近似可以从中提取。521小波介绍2背景3多分辨率展开3.1序列展开3.2尺度函数3.3小波函数4一维小波变换5快速小波变换6二维小波变换7小波包本章内容536.3.3多分辨率展开函数的伸缩和平移给定一个基本函数,则的伸缩和平移公式可记为：()x,()()abxaxb()x54函数的伸缩和平移2,sin()02()0()xxxx≤例：给定函数其它则的波形如下图所示函数的伸缩和平移55序列展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。()()kkkfxax其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数，是具有实数值的展开函数()kx如果展开是唯一的，f(x)只有一个ak系数与之对应，则称为基函数。()kx多分辨率展开56可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开集合的闭合跨度，表示为：xSpanVkk的闭合跨度属于表示xxfVxfk)()(()()kkkfxax多分辨率展开57尺度函数2/2,,,,/2,()()()()2(2),{()}()()(