北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题

第四章总练习题000000001..()()[()()].()(),[0,].()()(),(0)0.Lagrange,(0,1)()(0)(),fxhfxhfxhfxhhfxxfxxxhggxfxxfxxgghgghh00设y=f(x)在[x-h,x+h](h0)内可导证明存在,01使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得证00000()()[()()].12.:0,12()()1/4()1/2lim()1/4,lim()1/2.111,2()1,2()14(())212(1),1()(12(1)24xxfxhfxhfxhfxhhxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx即证明当时等式中的满足且证00).11()(12()2),44111()(12(1)2)(1(1)2).44211lim()lim(12(1)2).441lim()lim(12(1)2)4(12(1)2)(12(1)2)1lim4(12(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx由算术几何平均不等式得222)144(1)111/4411/1limlim.442(12(1)2)(1/2(1/1)2)3,0123.()()[0,2]1,1,01(2)(0)1().120,1xxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxfffxxx设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.解2/23/21.221111,;,2.()[0,2]2.222xxxfxx1在闭区间上的微分中值定理的中间值为或22324.[1,1]Cauchy()()()30(1,1),Cauchy(1)(1)()()0,()200,(0)0,.(1)(1)()()5.()[,],(,fxxgxxgxxfffcfcfcccggggcgcfxaba在闭区间上中值定理对于函数与是否成立?并说明理由.由于有零点中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若，但无意义设在上连续在解2121212),()0,(,)()()0,(,)()0.(,),()0,Rolle(,),(,)()()0.()[,](,),()0,()0,(,).(bfxxabfafbxabfxcabfcacccbfcfcfxccccffxxabf上有二阶导数且又证明当时若存在则由定理存在使得对于在应用定理,存在使得此与条件矛盾由假设1证一,c证二,00)0,(,),,().()(,())(,0)(,())(,0),()0,(,).6.()[,],()()0,(,)()0.:(,)()0.xxabDarbouxfxfxafaabfbbfxxabfxabfafbcabfcabxfx根据定理恒正或恒负不妨设恒正,于是f下凸,曲线严格在连结的弦下方故设在上有二阶导数且又存在使证明在内至少存在一点使由公式存在证一,c12121221021()()()(,),()0,()()()(,),()0.()[,]Lagrange(,),()()()0.,()0,(,),[,],(,(fcfafcacfccacafbfcfccbfcbccafxccccfcfcfxccfxxabfabafa0满足存在满足对于在应用公式,存在x使得若不然在下凸曲线在连结12c证二))(,0)(,())(,0),()0,(,).abfbbfxxab的弦下方故1201120121100112121201120127.1-12101.(),1111-121()1-12nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaxaxaxannnaxaxaaaaxaxaafxxnnnnnnaaaafxaxaxaxannn证明方程在与之间有一个根考虑函数证1201120121(0)(1)0.,(0,1),()0,1-12101.nnnnnnnaffRollecfccaaaaaaxaxaxannn由定理存在即是在与之间的一个根00000008.()(,),,().?Lagrange,()()()(),|()||()()()||()||()||()||(fxabfxfxfxfcxxfxfxfcxxfxfcxxfx0设函数在有限区间内可导但无界证明在(a,b)内也无界逆命题是否成立试举例说明.若不然设f(x)在(a,b)内有界M,取定x(a,b),则对于任意x(a,b),根据公式证,)|||().1(0,1),01,(0,1)2Mbaxxxx逆命题不成立.例如在内有界但是在内无界.(1)(1)00002009.()[,](),(),()[,].(:()()()()()0,()).()[,]2,()()()()0,()nnkfxabnkkfxfxabfxfxxxgxgxxfxknfxabxfxxxgxgxfx若函数在区间上有个根一个重根算作个根且存在证明在至少有一个根注意若可以表示成且则称为的重根我们对于作归纳法证明函数在区间上有2个根.如果是重根则且则证.2000121212012001002()()()(),().()[,],,,[,]Rolle,(,),()0..()[,]11,()()()()0,()(nxxgxxxgxfxxfxabxxxxxxxxxfxnfxabnfnxfxxxgxgxfx有根如果在区间上有2个不同的根在应用定理存在使得设结论对于个根的情况成立现在假定在区间上有个根.如果有重根重根则且则10000011000111211121)()()()()()((1)()()()),(1)()()()(),()(1)()0,().1,,[,],,[,]Rolle,(,),,(nnnnnnnnnnxxgxxxgxxxngxxxgxngxxxgxgxgxngxfxxfnxxxxxxcxxcxx有n重根如果如果有个单重根在区间上应用定理存在,11112111121111])()()0,().,,,,,,11,1.[,],,[,]Rolle,(,),,()()()0.()1(1)nkkkiikkkkkiifcfcfxnfxnnnknnxxxxcxxcfcfcfxknn1k-1k使得至少有个根如果有不同的根x重数分别为在上应用定理存在x,x使得至少有根个.对f(x)()(1)(())().nnfxfx用归纳假设,至少有一个根22111111112111110.:Lerendre()[(1)](1,1).2!1()(1)],(1)(1)0,[1.1]Rolle2!(1,1),()0.(1)(1)0(1),1)(,1)Rolle1),nnnnnnndPxxnndxfxxfffncfcffnfcccc证明多项式在内有个根对于在应用定理，存在使得当时对于在（，应用定理，存在（，证=2122211211(-1)(-1)111111121()12,1)()()0.()(1,1),,(1)(1)0Rolle,,,(1,1)()()0.()nnnnnnnnnnnnnnccfcfcxccffccccxxfxPxPx(n-1)1（使得如此下去，f在有零点，，在（-1,）,(,),,(,1)应用定理,得到x使得是n次多项式，至多有n个零点()nPxn，故恰有个零点.00011.(,),lim()lim().:(,),()0.()lim()lim().(,),(,),()0.(),().,,(,),()(xxxxffxfxcfcfxfxfxAxcfcfxAfxAabxabfafx设函数在内可导且证明必存在一点使得证若取任意一点都有设存在不妨设根据极限不等式存在a,b,满足:000000),()().[,],[,]()()(),()()(),(,),,Fermat,()0.()()lim()0lim0.lim()0xxxfbfxfabcabfcfxfafcfxfbxabxfcfxfxfxxfxx0在连续必在一点取最大值.故为极大值点根据引理12.设函数在无穷区间(x,+)可导,且,证明证由于,根据极限定义,存在正数101111111111,|()|()()()()()())|()|()|()||()||()||()|.,.max{,},()(),2,lim0.xxfxfxfxfxfcxxfxfxfxxxxxfxfxfxfxxXxxxfxfxxXxx11使得xx时.(x-x为使只需令当时必有故13.()[,),()0,()()0,,()0.()0,()()()()()()0,(),,,,fxafxlfafaaalfxfafafafaafafcfallllfafaalaa设函数在无穷区间内连续且当xa时其中l为常数.证明:若则在区间内方程有唯一实根证在连续由连续怀念书函数的中间值定理在区间()()0.,()Rolle,(),,()0.14.()(,)lim()0.()(1)(),lim()0.lim()lim((1)())lim(xxxxxfafxlfafxaafxllfxfxgxfxfxgxgxfxfxf内方程至少有一实根若有两个实根根据定理将在有一零点这与条件矛盾设函数在上可导，且现令证明证)(01)0.x12121215.()[,]Lipschiz,0,,[,],|()()|||.(1)()[,],()[,]Lipschiz(2)(1)?(3)[,]Lipschiz(1)()[,]0,fxabLxxabfxfxLxxfxabfxababfxabL称函数在满足条件若存在常数使对于任意都有若在连续则在满足条件中所述事实的逆命题是否成立举一个在上连续但不满足条件的函数.解在连续,存在常数12121212122121|()|.[,].,[,],,[,],|()()||()()||()|()().(2).()[,]Lipschiz()[,]()||[1,1]LipschizfxLxabxxabxxcxxfxfxfcxxfcxxLxxfxabfxabfxx使得根据中值公式,对于任意存在使得否在满足条件,未必处处可导,更谈不到在连续.例如,在满足条件111111(3)()[0,1],Lipschiz1()(0,1].216.()[,],()()[,],()()().()()(()())()()()()banniiiiiiiniiiifxxfxxFxabFxfxabfxdxFbFaFb