北师大版数学【选修2-3】练习1.5二项式定理(含答案)

第一章§5一、选择题1．(2013·江西理，5)(x2－2x3)5展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40[答案]C[解析]Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－2x3)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r＝Cr5(－2)r·x10－5r.令10－5r＝0，∴r＝2，常数项为C25×4＝40.2．在(1－3x)n的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为()A．5670B．－5670x4C．5670x4D．1670x4[答案]C[解析]偶数项的二项式系数的和为2n－1＝27，即n＝8，中间项为T5＝C48(－3x)4＝5670x4，故选C项．3．(2012·重庆理，4)(x＋12x)8的展开式中常数项为()A.3516B.358C.354D．105[答案]B[解析]本题考查了二项式定理展开通项公式，Tr＋1＝Cr8(x)8－r(12x)r＝Cr8·12r×x8－2r2，当r＝4时，Tr＋1为常数，此时C48×124＝358，故选B.要熟练地掌握二项展开式的通项公式．二、填空题4．(2014·湖北理改编)若二项式(2x＋ax)7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝________[答案]1[解析]二项式(2x＋ax)7的通项公式为Tr＋1＝Cr7(2x)7－r(ax)r＝Cr727－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中1x3的系数是C5722a5＝84，解得a＝1.5．(2014·新课标Ⅰ理，13)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)[答案]－20[解析]本题考查二项式定理和二项展开式的通项公式，满足x2y7的二项式系数是C18－C28＝－20.解答本题可以直接将(x＋y)8的展开后相乘得到x2y7的二项式系数，要注意相乘时的符号．三、解答题6．已知ax－x29的展开式中x3的系数为94，求常数a的值．[解析]Tr＋1＝Cr9ax9－r－x2r＝Cr9(－1)r·2－r2·a9－r·x32r－9令32r－9＝3，即r＝8.依题意，得C89(－1)8·2－4·a9－8＝94.解得a＝4.[点评]解决此类问题往往是先写出其通项公式，然后根据已知条件列出等式进行求解.一、选择题1．(2014·浙江理，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210[答案]C[解析]f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36＋C26C14＋C16C24＋C34＝20＋60＋36＋4＝120，选C.注意m＋n＝3.即求3次项系数和．2．若(1－2x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a201522015的值为()A．2B．0C．－1D．－2[答案]C[分析]由二项展开式可采用赋值法：令x＝0，可得等式左边为(1－2×0)2015＝1，右边为a0，等式即a0＝1；令x＝12，可得a0＋a12＋a222＋…＋a201522015＝0，易求值．[解析]对于(1－2x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015(x∈R)，令x＝0，可得a0＝1，令x＝12，可得a0＋a12＋a222＋…＋a201522015＝0，所以a12＋a222＋…＋a201522015＝－1.故选C.3．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2B．3C．4D．5[答案]A[解析](1＋x)8＝C08＋C18x＋C28x2＋…＋C88x8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，即ai＝Ci8(i＝0,1,2，…，8)．由于C08＝1，C18＝8，C28＝28，C38＝56，C48＝70，C58＝56，C68＝28，C78＝8，C88＝1，可得仅有C08和C88两个为奇数，所以a0，a1，…，a8中奇数的个数为2.4．(2012·湖北理，5)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12[答案]D[解析]本题考查二项展形式的应用．512012＝(52－1)2012＝522012－…＋1，若想被13整除须加12，∴a＝12，整除问题是二项展开式的重要应用．5．(2013·长春十一高中高二期中)若a为正实数，且(ax－1x)2014的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2014项为()A.1x2014B．－1x2014C.4028x2012D．－4028x2012[答案]D[解析]由条件知，(a－1)2014＝1，∴a－1＝±1，∵a为正实数，∴a＝2.∴展开式的第2014项为：T2014＝C20132014·(2x)·(－1x)2013＝－2C12014·x－2012＝－4028x－2012，故选D.二、填空题6．(2012·全国大纲理，15)若(x＋1x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为______．[答案]56[解析]本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用．依题意：C2n＝C6n，得：n＝8.∵(x＋1x)8展开式中通项公式为Tr＋1＝Cr8x8－2r，∴令8－2r＝－2，即r＝5，∴C58＝56，即为所求．本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项．7．(2014·山东理，14)若(ax2＋bx)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．[答案]2[解析]Tr＋1＝Cr6a6－rbrx12－3r令12－3r＝3，∴r＝3，∴C36a3b3＝20，即ab＝1∴a2＋b2≥2ab＝2三、解答题8．(1)在(x－3)10的展开式中，求x6的系数．(2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数．[解析](1)(x－3)10的展开式的通项是Tk＋1＝Ck10x10－k(－3)k.令10－k＝6，∴k＝4.由通项可知含x6项为第5项，即T4＋1＝C410x10－4(－3)4＝9C410x6.∴x6的系数为9C410＝1890.(2)解法一：(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)，∴x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.解法二：∵(1＋x)2的通项是Tr＋1＝Cr2·xr，(1－x)5的通项是Tk＋1＝(－1)k·Ck5·xk，∴(1＋x)2·(1－x)5的通项：(－1)k·Cr2·Ck5·xk＋r(其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5})．令k＋r＝3，则有k＝1，r＝2或k＝2，r＝1或k＝3，r＝0.故x3的系数为－C15＋C12·C25－C35＝5.[点评]本题解法一仅适用于幂指数较小的二项式乘积的展开式，而解法二的双通项法则是解决这类问题的通法．所谓双通项法就是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n·(r＋tx)m的展开式中的一般项为Tr＋1Tk＋1＝Crnan－r·(bx)rCkmrm－k·(tx)k＝CrnCkman－rbrrm－ktkxr＋k(注意这里含有xr＋k的项不一定只有一项)，再根据题目中的字母的指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r、k所取的值的情况．从而使问题顺利地解决．9．求(1＋2x)12展开式中系数最大的项．[解析]∵原式不是(a＋b)n的标准二项式，∴不一定是中间项系数最大．设第r＋1项系数最大，有第r＋1项系数≥第r项系数，第r＋1项系数≥第r＋2项系数.∴Cr12·2r≥Cr－112·2r－1，Cr12·2r≥Cr＋112·2r＋1，解得r≤263，r≥233.∵r是非负整数，∴r＝8.∴第9项系数最大，第9项为C812(2x)8＝146720x8.[点评]在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a、b的系数不是1时，最大的系数项的位置就不一定在中间了，此时需要利用通项公式列出不等式组来予以解决．10．设(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2014的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2013的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2014|的值．[解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2014＝(－1)2014＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2014＝32014②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2013)＝1－32014，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2013＝1－320142.(3)∵Tr＋1＝Cr2014·12014－r·(－2x)r＝(－1)r·Cr2014·(2x)r，∴a2k－10(k∈N*)，a2k0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2014|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2014，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2014＝32014.