几何画板迭代全解

1几何画板迭代全解目录迭代的基本概念以及迭代的基本操作迭代的概念迭代在代数、几何中的应用画正多边形数列的图像、前n项和与积迭代与分形几何Sierpinski三角形Sierpinski地毯摇曳的PythagoreanTree毕达哥拉斯树分形树KOCH曲线KOCHSnowflake柯克雪花数学之美H迭代蜂巢其它分形欣赏函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集迭代法求方程解MIRAHenon-AttractorMandelbrot集合JuliaSets集合牛顿迭代法下期预告2第一章：迭代的概念和操作迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)!nnnnnn。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们知道12nnaa，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7,9，11,13,15......如图1.1所示。图1.1图1.2在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n边形这个例子来看一下它们的区别。【例1】画圆的内接正7边形。3【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转3607，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。【步骤】1.新建圆O，在圆O上任取一点A。2.双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固定角度，然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB。第2步第3步3.选择A点，单击【变换】【迭代】，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正7边形的4条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次）。4.单击迭代框的【显示】按钮，选择【增加迭代】。（或者按键盘的‘＋’或‘－’）。增加三次迭代后，我们可以看到一个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次，正7边形制作完成。第4步第5步5.单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】，得到的图像仅是最后一条边。6.点击迭代框【结构】按钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅没有点的对象”则迭代的像只有正多边形的各条边，而没有顶点，反之则有。4选择迭代像，我们可以修改他们的属性，比如颜色和粗细等，但是细心的你会发现，线段的迭代像是不能够度量其长度的，当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标，但是我们可以得到迭代的终点，方法是选择迭代的点，然后单击【变换】【终点】，可以发现最后的那个点变成实点了，这个功能在函数映射里面会用到。上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢？可以的，这就是深度迭代。【例2】画圆的任意n边形【步骤】1.新建圆O并在圆上任取一点A。双击圆心O作为旋转中心。2.新建参数n＝7，计算360n,注意这时要带单位‘度’。3.选择A点，单击菜单【变换】【旋转】，出现旋转对话框，单击计算结果‘360n’作为标记角度，得到B点。连接线段AB。第3步第4步4.顺次选择点A和参数n，按住“shift”键不放，单击【变换】【深度迭代I】，出现迭代对话框。单击B点作为初像，屏幕上显示出完整的正7边形。按【迭代】完成操作。55.如何改变参数n呢？有两种方法，第一种是双击参数n，然后在对话框中输入值。第二种是单击参数n，按键盘的‘＋’、‘－’，系统默认变化量为1。右键单击可以修改变化量的大小。注意：迭代时，作为迭代深度的参数n一定要在最后面选择，这是系统的规定。上面讲的都是迭代在几何方面的应用，下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方面的应用。【例3】求数列12nna(n=1,2......)的图前8项，并在平面上画出散点(,)nna。【分析】由数列的表达式可知，(,)nna是直线y=1+0.5x上面的点。我们要产生两个数列，一个是作为横坐标的数列1，2，3......，一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。【步骤】1.新建函数y=1+0.5x。2.新建参数a=1,计算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。（计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a。因为迭代次数为0的时候，f(a)=1.5,a的值在迭代数据表中是不会显示出来的。）3.新建参数n＝7作为迭代深度。4.选择a和n，做深度迭代,原像是a,初像是a＋1。65.右键点击数据表，选择‘绘制表中记录’，设置x列变量为(a+1)-1，y列为f(a)。坐标系为直角坐标系。第5步第6步6.点击绘图，得到散点。这些点是可以度量的。但是当参数n改变的时候，这些点不与数据表同步，所以是不会改变的。【例4】求数列1，3，5，7，9(n=1,2......)的前n项和。【分析】公差为d，假设前n项和为nS，111(1)*nnnnSSaSand，在平面上描出（n,nS）。【步骤】1.新建参数x=1,计算x＋1。2.新建参数a=1,d=2。分别表示数列首项和公差。3.新建参数s=1,计算s+a+x*d4.选择x,x+1,s,s+a+x*d,和n做深度迭代。绘制数据表，x列为x＋1，y列为s＋a+x*d。7第4步第4步与此同理那么等比数列的制作也是一样的。下面我们来看看通项公式不知道的数列怎么画出其图像。【例4】画出菲波拉契数列12121,1,nnnaaaaa。【分析】数列的前提条件是121,1aa，因为12nnnaaa；所以原像是12,aa，初像是23,aa。【步骤】1.新建参数f1=0,f2=1,计算f1＋f2,把计算结果的标签改为f3。2.新建参数a=1,计算a+1,。计算（a+1）+1(因为迭代0次的时候f3＝2，而，所以下标应该是3，而a=1,故计算a+1+1)3.新建参数n=84.依次选择f1,f2,a1,a1+1,n,做深度迭代。第5步第6步5.绘制表中数据，x列为13a，y列为3f。6.画点（0,1）,(1,1)两点，作为数列的前两项。从图像可以看出，数列前面增长的很缓慢，但是到了后面就非常的惊人了。8【小结】在开始下一章“迭代与分行”之前，先复习一下深度迭代的过程是：1.顺次选择原像和参数n。（注意顺序）2.按住shift不放，单击菜单【变换】【深度迭代】（出现对话框后可以松开shift键）。3.依次选取初像。（注意顺序）。添加映射的方法是按键盘‘Ctrl＋A’。第二章：迭代与分形几何分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着9分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。2.新建参数n＝33.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)。4.添加新的映射,(B,C,A)(B,E,D)。第3步第4步5.继续添加映射。(B,C,A)(E,C,F)6.改变参数n可观察图形变化。第5步第6步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其9等分，得到9个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围8个小正方形。然后对每个10小正方形再9等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。【步骤】1.平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。2.以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；3.并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。第2步第3步4.新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？11【摇曳的PythagoreanTree(毕达哥拉斯树)】毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。【步骤】1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。2.填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3.新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，(A,B)(D,E),(E,C)。第2步第3步124.选择