函数及导数三角函数平面向量经典题选

1函数及导数、三角函数、平面向量经典题选★函数及导数部分1.(2013天津)设函数2()2,()ln3xfxexgxxx，若实数,ab满足()0,()0fagb，则（）【A】.()0()Agafb.()0()Bfbga.0()()Cgafb.()()0Dfbga【解析】易知2()2,()ln3xfxexgxxx在定义域内均为增函数，且(0)1,(1)10(0,1);(1)2,(2)ln210(1,2)()0()ffeaggbgafb。2.（2013新课标）若函数22()(1)()fxxxaxb的图像关于直线2x对称，则()fx的最大值是______【解析】由题可设22()(4)fxxxmp，其中,mp为待定常数，由22()(1)()(1)(1)0fxxxaxbff，即2222(1)(5)0,(1)(3)01,16()(41)16fmpfmpmpfxxx，易知当2410xx，即25x时，max()16fx。【法二】由于函数的定义域为R且图像关于直线2x对称，故可令(1)(3),(1)(5)ffff，代入可得22398()(1)(815)52515abafxxxxabb，则322'()4242884(2)(41)fxxxxxxx，令'()02fxx或25，代入可得最大值为16。【法三】22()(1)(815)(1)(1)(3)(5)(1)(5)(1)(3)fxxxxxxxxxxxx22(45)(43)xxxx，令24(4)xxtt，故2()(1)16ftt，当1t时等号成立。3.设函数,bc满足221bc，且()sincosfxaxbxcx的图像上存在两条互相垂直的切线，则abc的取值范围为【解析】221bc，不妨设sin()sinsincoscoscos()cosbfxaxxxaxxc'()sin(),()fxaxfx的图像上存在两条互相垂直的切线，必有12'()'()1fxfx，显然当(1,0),'()afx才能满足，故2sin()(12,2)abca。4.已知函数2()1,()43xfxegxxx，若有()()fagb，则b的取值范围【解析】函数2()1(1,),()43,1xfxegxxx，若存在()()fagb，则需22()1,4314202222gbbbbbb5.已知函数213,0()4,0axxxfxxx，若方程()4fx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围6.若方程2lg(3)lg(3)xxmx在[0,3]上有唯一解，则实数m的取值范围为【解析】原方程等价于222230303003034333xxmxxmxxxxxmxxmx,令21243,yxxym，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意03x，当且仅当两函数的图象在0,3上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当1m，或30m时，原方程有唯一解，因此m的取值2范围为3,01。7.已知函数3()fxxa在1,1上的最大值为()Ma，若函数2()()gxMxxt有4个零点，则实数t的取值范围（）【C】5.(1,)4A.(,1)B5.(,1)(1,)4C.(,1)(1,2)D【解析】当0a时，()1Maa；当0a时，()1Maa，由于()yMx与2yxt都关于y轴对称，故只用考虑0x时的情况，临界情况为相切。当1t时，225511014(1)0144xtxxxtttt；当1t时，恒有二个交点，共计四个交点，故选C。8.设()xxafxeaxe，已知斜率为k的直线与()yfx的图像交于112212(,),(,)()AxyBxyxx两点，若对任意的2,akm恒成立，则m的最大值为（）【D】.22A.0B.22C.222D【解析】由题设可以看出来，所求m的最大值即k的下确界，只要函数()yfx的斜率存在，经过适当的平移切线，则一定有两个交点。()'()(1)''()''()xxxxxxafxeaxfxeaefxeaefxe有且只有一个零点1ln(),'()2xafx在1(,ln())2a递减，在1(ln(),)2a递增，故有min11'()'(ln())(1)2fxfaaaa，令221,2,()(1)2attgttttttmin'()(2)222fxg。9.已知函数()fx满足1()41()xfxfx，正数12,xx满足12()()1fxfx，则12()fxx的最小值为（）1.4A4.5B.2C.4D【解析】易知12121224141111()1,141414141412xxxxxxxfx121212444324xxxxxx，易知1249xx，又121212124124()141415xxxxxxfxx310.已知函数213,0()4,0axxxfxxx，若方程()4fx有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是11.已知函数()fx满足(1)(1)fxfx，且()fx在(,0]上单调递减，若不等式(1)(2)faxfx在1[,1]2x上恒成立，则实数a的取值范围为（）.[2,1]A.[5,0]B.[5,1]C.[2,0]D【解析】(1)(1)fxfx，用1x代替x有()(11)(11)()fxfxfxfx，显然函数()fx为偶函数。又函数()fx在(,0]上单调递减，则()fx在区间0,单调递增；不等式(1)(2)faxfx在1[,1]2x上恒成立，根据偶函数的性质：()()()fxfxfx等价于不等式(1)(2)faxfx在1[,1]2x上恒成立，即不等式12axx在1[,1]2x上恒成立。【法一】验算法：观察端点值，根据答案端点的特征取特值。先取1a，即有12xx，问题转化为验证12xx在1[,1]2x是否恒成立，有如下方法：①平方法：2212xx得222144xxxx，移项得63x，解得12x，显然与题设矛盾；故排除,AC；②等价转化法：1211221221212xxxxxxxxxx，显然与题设矛盾；故排除,AC；③定义法：将12xx转化为数轴上的点到点1的距离不大于它到2的距离，容易得到0x，显然与题设矛盾；故排除,AC；再取3a，利用以上三种方法任意一种可得与题意矛盾，综上所述，选D；【法二】恒成立思想不等式12axx在1[,1]2x上恒成立等价于212xaxx在1[,1]2x上恒成立，分离变量a可得3111axax，即maxmin31(1)(1)axx，显然函数31yx在1x时有最大值，此时最大值为2，函数11yx在1x时有最小值，此时最小值为0，从而求得20a，故选D。【法三】数形结合思想⑴当0a时，11yax，如图：4由图可以看出，12x在1[,1]2x上恒成立；⑵当0a时，只要求函数1yax在1[,1]2x上的最大值不大于函数2yx对应点的函数值即可，即1312211aa，解得20a；【法四】根的分布不等式12axx在1[,1]2x上恒成立等价于22(1)(2)axx在1[,1]2x上恒成立，即22(1)(24)30axax在1[,1]2x上恒成立。⑴当210a时，1a。①当1a时，原不等式等价于1632xx，显然与题意矛盾；②当1a时，原不等式等价于3232xx，合题；⑵当210a时，22(1)(24)30axax在1[,1]2x上恒成立等价于1()02(1)0ff，解得21a；⑶当210a时，22(1)(24)30axax在1[,1]2x上恒成立等价于221121()02aaf或2211(1)0aaf，解得10a。综上所述，实数a的取值范围为20a，选D。12.（2013级成都三诊）在直角坐标系中，如果不同两点(,),(,)AabBab都在函数()yhx的图象上，那么称,AB为函数()hx的一组“友好点”（,AB与,BA看作一组)。已知定义在0,上的函数()fx满足(2)2()fxfx，且当0,2x时，()sin2fxx，则函数(),08(),80fxxgxxx的“友好点”的组数为【A】.4A.5B.6C.7D【解析】欲求()gx的“友好点对”，只须作出函数()(80)gxxx的图象关于原点对称的图象，看它与函数()()gxfx交点个数即可。（注意分界点）13.方程12sin1xx在区间2012,2014上所有根之和等于【解析】设121,2sin1yyxx,画出两函数图像，5函数的图像都关于点(1,0)成中心对称，且(1,0)是区间2012,2014的中心，2y是周期为2的函数，两函数图像的交点横坐标即为原方程的根，而这些交点均是关于(1,0)对称的，每相应一对根是以1为中点，在区间中点(1,0)的两侧两图像在函数22sinyx的每个区间内匀有一个交点，左右共4024个交点，故这些交点的横坐标之和为4024240242。14.对于定义域为0,1的函数()fx，如果同时满足以下三个条件：①对任意的[0,1]x，总有()0fx；②(1)1f；③若12120,0,1xxxx，都有1212()()()fxxfxfx成立；则称函数()fx为函数。下面有三个命题：⑴若函数()fx为函数，则(0)0f；⑵函数()21([0,1])xfxx是函数；⑶若函数()fx是函数，假定存在0[0,1]x，使得0()[0,1]fx，且00[()]ffxx，则00)(xxf；其中真命题．．．个数有()【D】.0A个.1B个.2C个.3D个【解析】取120xx，由③(0)2(0)ff，由①(0)0f，则(0)0f成立，则①真；易验证得：()21([0,1])xfxx满足①②，当12120,0,1xxxx时，1212121212()()()22210(21)(21)0xxxxxxfxxfxfx显然成立，则②真；令0()0,1fxt，⑴若0tx，记0,01txmm，由③00()()()()ftfxmfxfm，由00[()]ffxx，即0()xtfm，又()0fm与0tx矛盾；⑵若0tx，同理也可以推出矛盾；则0tx，即00()fxx，命题⑶真。15.已知函数221()(0)afxxaxbxxx，若实数,ab使得()0fx有实根，则22ab的最小值为（）【A】4.5A3.4B.1C.2D【分析】题目给定