函数图像变换的“好”方法

《数学学习与研究》2016年07期所属板块：解题技巧与方法第1页函数图像变换的“好”方法侯胜哲（华南师范大学数学科学学院，广州）高考中函数图象变换是重点、难点，然而很多同学对函数变换的解题规律掌握地模棱两可。本文主要针对在这类题有疑问的学生，让他们对高中函数变换的解题有一个统一的、简洁的方法，并使其加深对高中函数图像变换及函数图像的理解。当然也供教师进行教学参考，同时与在数学方面有兴趣的读者交流。现在我将给大家娓娓道来，希望对读者有所帮助。我将正弦函数图像变换归为下面三种基本类型：形如（1）由sinyx变到sin(21)yx；（2）由sin(21)yx变到sinyx；（3）由sin(21)yx变到sin(32)yx.注：由于对纵坐标的变换较为好掌握，这里不做讨论.对于第（1）种类型，我们知道老师教给的口诀是“左加右减”，但不少同学还是糊里糊涂，应用时搞不清加什么减什么.尤其是此题还有两种方法：先平移再伸缩；或先伸缩再平移.对于第（2）种类型，乍一看，与第一类问题很像，但用“左加右减”似乎不知加多少减多少.此题的难度高于第（1）类型，如当作高考选择题，根据出题难度，则出题的位置大概在中后.对于第（3）类问题，则更是不知如何下手，看似平常，如找不到方法，也是头晕脑胀，此题有一些竞赛意味.好了，接下来我们娓娓道来如何解决上述问题.例1由函数sinyx的图像，经过怎样的变换得到sin(21)yx的图像.解：步骤1：将题目改为：由函数sinyt的图像，经过怎样的变换能到sin(21)yx的图像.步骤2:令21tx.步骤3:解出x，12tx.对于12tx，有两种看法：1）(1)2tx；2）122tx.由此产生两种解法：1）(1)2tx（先平移后伸缩）.看着此式(1)2tx，我们按照此式的运算顺序，来叙述答案：原函数sinyt的图像先向左平移1个单位，接着，横坐标变为原来的12倍，得到sin(21)yx的图像.注：这里看到加号“”，就是往右移，看到12，就是乘以12倍，与“左加右减”相反.《数学学习与研究》2016年07期所属板块：解题技巧与方法第2页2）122tx（先伸缩再平移）.看着此式122tx，我们按照此式运算顺序，来叙述答案：原函数sinyt图像的横坐标变为原来的12倍，再向左平移12个单位，得到sin(21)yx的图像.好了，问题就这样被简单地解决了.我们没有用到“左加右减”，上述过程似乎给我们灵光一闪，上述方与跟“左加右减”这一法则的应用似乎有某种联系.例2由函数sin(21)yx的图像，经过怎样的变换得到sinyx的图像.解：步骤1：将题目改为：由函数sin(21)yt的图像，经过怎样的变换能得到sinyx的图像，步骤2:令21tx.步骤3:解出x，21xt.对于21xt，有两种看法：1）12()2xt；2）21xt.由此产生两种解法：1）12()2xt（先平移后伸缩）.看着表达式12()2xt，我们按照此式的运算顺序，来叙述答案：函数sin(21)yt的图像先向右平移12个单位，横坐标再变为原来的2倍，就得到sinyx的图像.2）21xt（先伸缩再平移）.看着表达式21xt，我们按照此式的运算顺序，来叙述答案：函数sin(21)yt的图像横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位，可得到sinyx的图像.由上知，原来用第（1）种类型类似的解题方法，也可解出第（2）种类型的题，但老师的“左加右减”用起来就不是那么轻松了.话到这里，能想到如何解第（3）种类型吗？例3由函数sin(21)yx的图像，经过怎样的变换能得到函数sin(32)yx的图像.解：步骤1：将题目改为：由函数sin(21)yt的图像，经过怎样的变换能到sin(32)yx的图像.步骤2:令2132tx.步骤3:解出x，213tx.对于213tx，有两种看法：1）21(32xt）；2）2133tx.由此产生两种解法：1）21(32xt）（先平移后伸缩.如果采用先平移的方法，t前面《数学学习与研究》2016年07期所属板块：解题技巧与方法第3页方法一：①原图像sinyx先向左平移1个单位，②横坐标再变为原来的12倍，得到sin(21)yx.需紧跟系数1，故提出系数23）.看着等式21(32xt），我们按照此式运算顺序，来叙述答案：原图像sin(21)yt先向左平移12个单位，横坐标再变为原来的23倍，即可得到sin(32)yx的图像.2）2133tx（先伸缩再平移）.看着等式2133tx，按照此式的运算顺序，来叙述答案：原图像sin(21)yt的横坐标先变为原来的23倍，横坐标再向左平移13个单位，就得到sin(32)yx的图像.现在通过以上方法解决了函数的图像变换，此方法有以下几个优势.1）将三种不同类型的图像变换方法统一起来.2）比“左加右减”更贴近问题本质.3）好记忆.4）解决了“左加右减”所难解决的第（1）、（2）种类型的图像变换问题.5）便于有潜力的学生理解函数和函数变换.能把上述三类问题完美解决，对于其它函数如cosx，logx，xe的函数图象变换，也可采取类似的方法.好了，有读者可能要问，这种方法的原理是什么，我想把这个问题少留一会儿，留一个撞钟余音.在这里特意配上函数变换的图像，使上述过程具体形象.图示例1.由函数sinyx的图像，经过怎样的变换得到sin(21)yx的图像.《数学学习与研究》2016年07期所属板块：解题技巧与方法第4页方法二：①原图像sinyx的横坐标先变为原来的12倍，②再向左平移12个单位，得到sin(21)yx.sinyx图示例2.由函数sin(21)yx的图像，经过怎样的变换得到sinyx的图像.方法一：①原图像sin(21)yx先向右平移12个单位，②横坐标再变为原来的2倍得到sinyx.(sin1)yxsin(21)yxsinyxsin(2)yx《数学学习与研究》2016年07期所属板块：解题技巧与方法第5页图示例3.由函数sin(21)yx的图像，经过怎样的变换能得到函数sin(32)yx的图像.sin(21)yx方法二：①原图像sin(21)yx横坐标先变为原来的2倍，②横坐标再向左平移1个单位得到sinyx.sin(2)yxsin(1)yxsinyx《数学学习与研究》2016年07期所属板块：解题技巧与方法第6页方法一：①原图像sin(21)yx先向左平移12个单位，②再横坐标变为原来的23倍，得到(21)yx.sin(21)yx方法二：①原图像sin(21)yx的横坐标变为原来的23倍，②再横坐标向左平移13个单位，得到sin(32)yx.sin(22)yxsin(31)yxsin(32)yx