函数图象的对称性在高考中的应用

函数图象的对称性在高考中的应用庆阳四中张建龙15352343096众所周知,函数历来是高考的重点内容之一,高考对函数的考查离不开函数性质的研究应用,特别是函数的单调性与奇偶性更是高考命题的热点,理应成为高三复习的重点.函数图像的对称性作为奇偶性拓展与延伸,在各类高考试题和模拟题中更是屡见不鲜,同时也是出错率非常高的题目.如果从图象的角度审视函数,有两类比较特殊的函数,一类是它们图象成中心对称,一类是它们图象成轴对称,那么这样的函数具有什么性质呢？不难发现,这两类函数图象总可以通过适当的平移,转化为具有奇偶性的函数,下面就对有关函数对称性和奇偶性的性质做一总结.有关函数对称性与奇偶性的一些重要性质:自对称与互对称问题(1)若函数()fx为奇函数,则()()()()0fxfxfxfx；;()fx的图象关于原点对称,反之亦成立.(2)若函数()fx为偶函数,则()()()()2()fxfxfxfxfx；;()()fxfx;()fx的图象关于y轴对称,反之亦成立.推论:函数-fxa的图象关于直线xa对称.(3)若函数()fx对任意自变量x都有()()fxafax,则()fx的图象关于直线0x对称,反之亦成立.(4)若函数()fx对任意自变量x都有()()faxfax,则()fx的图象关于直线xa对称,反之亦成立.(5)若函数()fx对任意自变量x都有()+()=2faxfaxb,则()fx的图象关于点(,)ab对称,反之亦成立.(6)若函数()fx对任意自变量x都有(2)()faxfx,则()fx的图象关于直线xa对称,反之亦成立.(7)若函数()fx对任意自变量x都有()()faxfbx,则()fx的图象关于直线2abx对称,反之亦成立.(8)函数()fx与函数()fx的图象关于y轴对称,反之亦成立.(9)函数()fx与函数()fx的图象关于x轴对称,反之亦成立.(10)函数()fx与函数()fx的图象关于x轴对称,反之亦成立.(11)函数(1)fx与函数(1)fx的图象关于直线1x对称,反之亦成立.(12)函数()fax与函数()fbx的图象关于直线2bax对称,反之亦成立.(13)在()fx,g()x的公共定义域上有如下结论:()fxg()x()+()fxgx()-()fxgx()()fxgx(())fgx偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数以上结论中,前7条是一个函数自身的对称性问题,后6条是两个函数之间的对称性问题.下面主要来研究函数的对称性在各类题型中的应用.命题方向一:基于函数,考查运算能力这类题目一般都会给出函数的解析式,目标是求函数值或由函数值求相应的自变量的值,,着重考查考生的运算能力和逻辑思维能力.这类题目不是简单的求值或解方程,而是要考查考生如何如何合理的选择运算路径,即从函数解析式出发,结合函数的奇偶性、单调性、周期性进行运算,达成目标.【例1】.已知()fx为奇函数,()()9,(2)3,(2)gxfxgg则【解析】解法一:由题意得(2)(2)9=3(2)=6gff，,因为()fx为奇函数,所以(2)=6,(2)(2)915fgf.解法二:因为()fx为奇函数,所以()fx图象关于(0,0)点成中心对称;将()fx沿着y轴向上平移9个单位长得到()gx的图象,所以()gx图象关于(0,9)点成中心对称,由第五条结论可知:()+()=18gxgx,所以(2)+(2)=18,(2)=15ggg【例2】已知函数32()=sin4(,),(lg(log10))5fxaxbxabRf,则(lg(lg2))=f【解析】因为函数3()=singxaxbx为奇函数,图象关于原点对称,所以()fx图象关于点(0,4)对称,即有()()8fxfx.而21lg(log10)lglg(lg(2))lg2,所以2(lg(log10))(lg(lg2))8ff,又2(lg(log10))5f,所以(lg(lg2))3f,选C.【评注】这两道题都是考查函数奇偶性的常规问题.由函数解析求定量的函数值,代入计算是最直接的想法,但有时是行不通的.要解决这两个类似的问题,首先考生要熟练掌握函数的奇偶性的性质,函数图象平移的基本法则,其次是对数的化简;进而联想到互为相反数的函数值与函数奇偶性之间的关系;其次是分析函数()fx的特征,建立与函数奇偶性的联系,这是这两道题的能力要求之所在.【例3】设函数22(1)sin()1xxfxx的最大值为M,最小值为m,则Mm【解析】因为222(1)sin2sin()111xxxxfxxx,又22sin()1xxgxx为R上的奇函数,所以()fx的图象关于(0,1)点成中心对称,从而()fx的图象上的最大值点与最小值点也关于(0,1)对称,因此2Mm【评注】本题貌似一道最值问题,实则为一道函数奇偶性的应用问题,与前两题比较,对奇偶性的应用隐藏的更深,要求考生要有敏锐的观察能力.命题者对函数解析式结构进行适当的“伪装”,只有适当变形,揭露其本质,才是解题的关键点.【例4】已知函数123()1234xxxxfxxxxx,则55(2)(2)22ff【解析】11112525()441234(1)(4)(2)(3)xxfxxxxxxxxx22114(25)5456xxxxx.因为22115456yxxxx的图象关于直线52x成轴对称,直线25yx关于点5,02成中心对称,所以函数()fx的图象关于点5,42成中心对称.因此55()()822fxfx,即55(2)(2)822ff.【评注】相比例2,例3,本题的难度自然要大得多,同样是用函数图象的对称性解题,但是“伪装”的更加深而已,因此对考生的观察能力和知识点的综合应用能力提出了更高的要求.当然,如果直接代入计算,也是可行的,只是过程显得有点“恐怖”.而思维灵活的同学,如果考虑()(5)fxfx,则过程更显简洁.()(5)fxfx1235432812344321xxxxxxxxxxxxxxxx【例5】设函数32()3614fxxxx,且()1,()19fafb,则ab【解析】由323()3614(1)3(1)10fxxxxxx,设31,()xtfttt为奇函数,可知()fx的图象关于点1,10成中心对称,即有(1)(1)20fxfx,从而有()()11920fafb,又'()0fx恒成立,()fx为单调函数,所以ab-2.【评注】本题可视为例4的逆向问题,依然考查函数的中心对称问题,其核心是探求三次多项式函数的对称性.解题过程中,要求有较强的代数式变形能力,这是对考生创新意识的考查.也就是,要仿照二次函数通过“配平方”求对称轴的方法,对本题三次函数通过“配立方”的方法,寻找函数的对称中心.这里要提醒大家注意的是:若函数()fx对任意自变量x都有()+()=2faxfaxb则()fx的图象关于点(,)ab对称;但是若函数()fx图象关于点(,)ab对称,且()+()=2fmfnb,则不一定有+=2mna.【结论1】如果一个单调函数()fx的图象关于点(,)ab对称,且()+()=2fmfnb,那么必有+=2mna.同类题目练习:1.函数1111()...1232015fxxxxx图象的对称中心的坐标为.(答案:(-1007,0))2.已知函数2()ln1422fxxx,则1(ln2)+(ln)=2ff.(答案:4)3.已知函数21()ln(1)32xfxxex的最大值为M,最小值为m,则Mm.(答案:6)4.已知函数32115()33212fxxxx,则1232013...2014201420142014ffff.(答案:2014)5.函数3112xyxx的值域为.(答案:,13,,提示:317322xyxx的图象关于点2,3成中心对称，结合自变量的取值范围与函数图象即可快速得出答案)命题方向二:立足方程,考查数形结合能力鉴于函数与方程的特殊关系,方程的根就是函数的零点,就是函数图象与x轴交点的横坐标.若一个函数的图象具有某种对称性,那么它所对应的方程的根也就有相似的对称性.因此,考查方程根的分布问题的考题往往会涉及到函数图象的对称性.这类考题需要考生挖掘题目所给方程所对应的函数的特殊性质,侧重考查考生数形结合能力.【例6】方程(1)sin1xx在区间(-1,3)上有四个不同的实数根1234,,,xxxx,则1234xxxx【解析】因为1yx与sinyx交于1,0点,且1yx与sinyx的图像都是关于1,0点成中心对称,所以函数1sin1fxxx的图像关于直线1x对称.因此函数1sin1fxxx与x轴的交点关于点1,0中心对称,即方程(1)sin1xx的根“成对”出现,且每对根的和都是2.由于区间1,3关于1,0点中心对称,所以四个不同的实数根1234,,,xxxx分成两对,有12344xxxx【评注】本题中的方程的根显然是无法求得的只能探求根之间的特殊关系,而根的特殊性是由方程的特殊性决定的,自然引导我们考察函数1sinfxxx的特殊性质.类比函数singxxx的性质:yx与sinyx都是奇函数,图像都是关于原点对称,而奇函数与奇函数的积是偶函数,因此singxxx为偶函数；由此我们可以得到1sinfxxx向左平移1个单位长度后也是偶函数,所以1sinfxxx的图像关于直线1x对称.【结论2】如果一个函数存在零点且该函数的图像关于直线xa或点,0a对称,那么该函数的图像与x轴的交点也关于点,0a对称.即该函数的零点会“成对”出现,且每对零点之和为2a.【例7】已知定义在R上的函数()fx满足222,[0,1)()2,[1,0)xxfxxx,且25(2)(),()2xfxfxgxx,则方程()()fxgx在区间5,1上所有实根之和为.【解析】当(1,1)x时,()fx的图像关于点0,2对称,又(2)()fxfx,所以()fx的图像(除去21,xkkZ的点)关于点2,2k中心对称.而251()222xgxxx的图像关于点2,2中心对称,故函数()fx(除去21,xkkZ的点)与()gx的图像都关于点2,2中心对称.又(3)(3)1,(1)(1)fgfg,所以3,1x时,()fx与()gx有且只有一个交点,即方程()()fxgx在3,1x上有且只有一个实根.所以方程()()fxgx在区间5,1上有3个实数根,其中一根为3,另外两根关于关于点2,2中心对称,故所有实根之和为7.【评注】考查函数零点或方程根的问题,一般不在于解方程,而更多的是倾向于考查函数的性质.借助函数的奇偶性,图像的对称性,易发现两函数图像都是关于点2,2中心对称,其中一根为3,点3,1是两个函数的交点,而3,1关于点2,2的对称