函数极限的若干方法的研究

河南科技大学课程设计说明书课程名称数学分析课程设计题目函数极限的若干方法的研究学院数学与统计学院班级基础数学121班学生姓名石赛赛指导教师侯海龙日期2015年1月9日课程设计任务书（指导教师填写）课程设计名称学生姓名专业班级一、设计题目数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。二、设计内容、技术条件和要求运用极限的思想方法解决一定的实际问题。由此对极限思想和极限方法形成深刻的认识，从而树立辩证唯物主义观点。掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。三、时间进度安排第一天,集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。第二天,学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。第三天,再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。第四天,检查各小组的实习情况。教师指导。第五天,提交实习成果及文档。四、主要参考文献1．陈纪修．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2004．2．陈传璋，欧阳光中．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2003．3．华东师大数学系编.数学分析．第三版．北京：高等教育出版社，2001．4．费定晖．Б.П.吉米多维奇数学分析习题集题解（1～6册）．第四版．济南：山东科学技术出版社，2012．指导教师签字：年月日1函数极限的若干方法的研究摘要数学分析中，函数极限理论不仅是微积分的基础，也是高等数学教学的重点和难点在,因此，求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求极限的一般方法而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解。由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性。关键词：夹逼准则，洛必达法则，微分中值定理，泰勒公式一·极限的定义性质及作用函数极限定义：设函数fx在0x处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意0，总存在正数，使得当0xx时，Axf)(成立，那么称A是函数fx在0x处的极限。函数极限具有的性质：性质1（唯一性）如果limxafx存在，则必定唯一性质2（局部有界性）若0lim()xxfx存在，则f在0x的某空心邻域内有界性质3（保序性）设lim,limxaxafxbfxc2数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可以说，没有极限理论就没有微积分。二·极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。2.1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设nX是一个数列,a是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数N，当nN时,都有nXa,我们就称a是数列nX的极限.记为limnnXa.例1:按定义证明0!1limnn.3解:11112nnnnn令1n,则让n1即可,存在1N,当nN时,不等式:111n1n21n!nn成立,所以0!1limnn.2.2.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n或x增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。例2:求nnnbbbaaa2211lim,其中1,1ba.解:分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bbbbbaaaaannnn111,1111212,4原式1111lim111111lim11nnnnabaababb,2.3.利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小,使放大与缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。例3:求{21nn}的极限.解:对任意正整数n,显然有nnnnnn221122,而01n,02n,由夹逼性定理得01lim2nnn.2.4.利用两个重要极限求极限两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11(lim)11(lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细5观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例4：求极限xxxx11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1x，最后凑指数部分。解：2221212112111lim121lim11limexxxxxxxxxxx2.5.用洛必达法则求极限洛必达法则为：假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数()x和()gx满足：1（）()x和()gx的极限都是0或都是无穷大；（2）()x和()gx都可导，且()gx的导数不为0；（3）'()lim'()fxgx存在（或是无穷大），则极限()lim()fxgx也一定存在，且等于'()lim'()fxgx，即()lim()fxgx='()lim'()fxgx。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。6例6:求20cos1limxxx解:是00待定型.20cos1limxxx212sinlim0xxx注：运用洛比达法则应注意以下几点2.5.1、要注意条件，也即是说，在没有化为0,0时不可求导。2.5.2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。2.5.3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。2.6.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先,利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时,这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。例8：求21limsinxxx的值7解：因为21limxx是无穷小量，而limsinxx是有界变量，所以21limsinxxx还是无穷小量，即21limsin0xxx2.7.利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即()lim1()xfxgx称)(xf与)(xg是0xx时的等价无穷小量，记作)(xf)(~xg.)(0xx.定理：设函数)(),(),(xhxgxf在)(00xu内有定义，且有)(xf)(~xg.)(0xx1.若lim()()xfxgxA则lim()()xhxgxA2.若()lim()xhxBfx则()lim()xhxBgx证明：①()lim()()limlim()()1()xxxgxgxhxfxhxAAfx②可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例11：求30tansinlimsinxxxx的极限解：由).cos1(cossinsintanxxxxx而)0(,~sinxxx；,2~cos12xx(0)x；33sinxx3~x,(0)x.8故有23300tansin112limlimsincos2xxxxxxxxx注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于0sinlim1xxx，故有xsin).0(,~xx又由于0arctanlim1xxx故有arctan~xx，(0)x.另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有tan~xx，(0)x；sin,(0)xxx，而推出的3300tansinlimlim0sinsinxxxxxxxx则得到的结果是错误的。小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。2.88.利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。例13：求2240coslimxxxex245242544000()cos112limlim10()12224(4)xxxxxxexxxxxn9解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为4x，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取(4)n245cos10()224xxxx2245210()212xxxex2452cos0()12xxxex因而求得245244000()cos112limlim12xxxxxxexx2.9.利用两个准则求极限(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数N,当nN时，有nnnxyz且limlimnnxxxza则有limnxya.利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列ny和nz，使得nnnyxz。例:14222111......11nxnnnn求nx的极限解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项2222111......111nnxnnnnn102222111......111nnxnnnnn则2211nnxnnn又因为22limlim11xxnnnnn221limlim()0141lim2nnnxxnxyyallayayl（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：15证明下列数列的极限存在，并求极限。123,,,,nyayaayaaayaaaa证明：从这个数列构造来看ny显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为21321,,,nnyayyayyay所以得21nnyay.因为前面证明ny是单调增加的。两端除以ny得1nnayy因为1nyya则naay,从而11naay1naya11即ny是有界的。根据定理ny有极限，而且极限唯一。令limnxyl