函数的单调性及值域

定义函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。如果说明一个函数在某个区间I上具有单调性，则我们将I称作函数的一个单调区间，则可判断出：（1）DI（D是函数的定义域）。（2）区间I上，对于函数)(xf，)()(,,212121xfxfxxIxx都有且。或)()(,,212121xfxfxxIxx都有且。（3）函数图象一定是上升或下降的。注意：函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开。单调函数一般地，设一连续函数f(x)的定义域为D，则如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值2121,xxxx且，都有)()(21xfxf，在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值2121,xxxx且，都有)()(21xfxf，在D上具有单调性且单调减少，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。增函数和减函数统称单调函数。性质图象性质函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。如右图所示，对于该特殊函数f(x)，我们不说它是增函数或减函数，但我们可以说它在区间],[21xx上具有单调性。运算性质（1）f(x)与f(x)+a具有相同单调性；（2）f(x)与g(x)=a·f(x)在a0时有相同单调性，当a0时，具有相反单调性；（3）当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则)()(xgxf为增（减）函数；若两者都恒小于零，则)()(xgxf是减（增）函数；（4）两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。判断方法图象观察如上所述，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增；一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减；注意：对于分段函数，要特别注意。例如，上图左可以说是一个增函数；上图右就不能说是在定义域上的一个增函数（在定义域上不具有单调性）。定义证明如果需要严格证明某区间上函数的单调性，则观察图象的方法就显得不太可靠了，因此需要用定义证明。步骤：（1）任意取值：即设21,xx是该区间内的任意两个值，且21xx；（2）作差变形：作差)()(12xfxf，并因式分解、配方、分母有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形；（3）判断定号：确定)()(12xfxf的符号；（4）得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）。即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”。一阶导数如果函数)(xfy在区间I内可导，若Ix时恒有0)(xf，则函数)(xfy在区间I内单调增加；反之，若Ix时恒有0)(xf，则函数)(xfy在区间I内单调减少。复合函数在函数)]([xgfy的定义域内，令)(xgu，则)]([xgfy的单调性由)(xgu与)(xfy的单调性共同确定，方法如下)(xgu)(xfy)]([xgfy增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数因此，复合函数的单调性可用“同增异减”来判定，但要考虑某些特殊函数的定义域。注：y=f(x)+g(x)不属于复合函数，因此不在此方法的适用范围内。值域函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。常用方法（解题时无需纠结具体用了什么方法，只要能速效解出来就是好方法。）化归法在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法；解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6注意：换元后勿忘还原；利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域；图象法根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。配方法利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。单调性法根据单调性来求值域。换元法包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。判别式法判别式法即利用二次函数的判别式求值域。复合函数法设复合函数为f[g(x)]，g(x)为内层函数,为了求出f的值域，先求出g(x)的值域,然后把g(x)看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据f(x)函数的性质求出其值域；三角代换法利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：1,12222dcba，求证：1bdac.直接计算麻烦用三角代换法比较简单：做法：设a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy,1)cos(coscossinsinxyyxyxbdac所以不等式成立。；不等式法基本不等式法：利用)0,(2baabba求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。分离常数法把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。函数的最值函数最值分为函数最小值与函数最大值。最小值设函数)(xfy的定义域为D，如果存在实数M满足：①对于任意实数Dx，都有Mxf)(，②存在Dx0，使得Mxf)(0，那么，我们称实数M是函数)(xfy的最小值。最大值设函数)(xfy的定义域为D，如果存在实数M满足：①对于任意实数Dx，都有Mxf)(，②存在Dx0，使得Mxf)(0，那么，我们称实数M是函数)(xfy的最大值。在中学阶段，求最值几乎等同于求值域。