函数的定义与表示方法

函数的定义和表示方法1函数的定义（1）由函数的定义知，由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则。因此，定义域和对应法则是“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：a定义域不同，两个函数不同；b对应法则不同，两个函数也不同（2）由函数的定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：A定义域和对应法则是否给出B根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每个值，是否都能确定唯一的函数y2映射与函数函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射。A映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等等，总之只要是非空集合即可B映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射不是同一个映射C映射要求对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有它的象并且象是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和集合B中元素的唯一性是映射的重要性质，缺一不可。D映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能一对多E当A、B都是非空数集时，A到B的映射就构成了A到B的一个函数，因此函数是一类特殊的映射3函数的表示方法函数的表示方法通常有三种，他们是列表法、图像法和解析法4分段函数A分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集B分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值C在研究分段函数图像时，要特别注意定义域的制约作用D分段函数时一个函数，并非几个函数。典型例题一利用映射与函数的定义域解题例1关于函数有下列四种说法：（1）自变量x在其定义域内的每一个值，都有唯一确定的函数值f（x）；（2）定义域不同，尽管两个函数的值域与解析式都相同，但两函数仍不是同一函数（3）若函数的定义域只有一个元素，则函数的值域也只有一个元素；（4）定义域和值域相同的两个函数一定是同一函数。其中正确的个数有（）A1B2C3D4二求映射个数问题例2已知A=｛a，b，c｝，B=｛-1，0，1｝，映射f：A→B满足f（a）+f（b）=f（c），则映射A→B的个数为三求函数的定义域1已知函数f（x）=x11的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，求MN四求函数的值域求函数值域是函数中的重要问题之一，它涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此介绍几种常见的求法（1）用非负数的性质1求函数f（x）=-3x2+2的值域2y=5+21x（2）分离常数法对于某些分式函数，可以通过分离常数法，化成部分分式来求值域1求函数y=12xx的值域2求函数y=1122xx的值域变式训练求函数y=3332xx的值域结论：形如y=dcxbax的函数值域，其结果就是y≠ca（3）利用函数的单调性1求函数y=3x-x21的值域2求函数y=x5+x3的值域（4）利用判别式法特殊的，对于可以转化为关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0的函数y=f（x），可利用Δ≥0且a（y）≠0，求出y的最值后，要检验这个最值在定义域是否具有相应的x值1求函数y=432xx的最值2求函数y=322xx的最值（5）利用换元法求值域1求函数y=2x-5+x415变式训练：y=3x-x21的值域（6）带两根号式的处理法1求函数y=2x+x4思考y=x2+x4的值域（7）重要不等式法1求y=12xx（x0）的值域2y=143422x的值域五、求函数解析式问题此类问题主要包括已知解析式求函数值或已知条件式求函数的解析式求函数的解析式的主要方法有：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数f[f(x)]的表达式时，可用定义法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出f（x）1待定系数法已知f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=3，f（-1）=1，f’(0)=1求函数的解析式2定义法1设f（x+1）=x2-3x+2，求f（x）2设f[f(x)]=21xx,求f（x）3设f（x+x1）=x2+21x求f（x）变式训练设g（x+x1）=x3+31x求g（x）3换元法1已知f（x-2）=2x2-9x+13，求f（x）的解析式2若f（x）=2x+1，求f（3x+2）思考：若f（)1x=x+2x，求f（x）4利用奇偶性已知奇函数f（x）（xR），当x0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式。5构造方程组若函数f（x），g（x）的定义域为R，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=112xx，求函数f（x）的解析式。6特殊值法：1设f（x）是定义在N上的函数，满足f（1）=1，对于任意正整数x，y，均有f（x）+f（y）=f（x+y）—xy，求f（x）六抽象函数涉及未给定解析表达式的函数的相关问题通常较难，对同学的基本数学素质要求较高，除了要掌握函数的基本性质之外，还要掌握一定的代数变形方法。下面精选几例给同学们阅读，以期提高同学们的阅读、概括能力，掌握这类问题的解决方法。例1函数f（x）对任意的a、bR，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x0时，f（x）1。（1）求证：f（x）时R上的增函数（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）3例2函数f（x）的定义域为R，且对任意x，yR，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0,f（1）=-2。（1）证明：f（x）是奇函数；（2）证明：f(x)在R上是减函数；（3）求f（x）在区间[-3,3]上的最大值和最小值例3设函数y=f（x）定义在R上，对任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x0时，0f（x）1。（1）求证：f（0）=1，且当x0时，f（x）1；（2）求证：f（x）在R上递减