分块矩阵的秩的降阶公式及推广

2015级理科实验班高等代数与解析几何课程论文1分块矩阵的秩的降阶公式及其推广赵权（北京科技大学2015级理科实验班1班）摘要：本文通过讨论分块矩阵中有子块为零矩阵时的秩的性质，再推广到一般分块矩阵的秩的性质，得到分块矩阵的秩的降阶公式及推广。关键词：分块矩阵；降阶；矩阵乘积；初等变换。1降阶公式1.1子块含零矩阵1）设分块矩阵Z=[𝐴𝐵𝐶𝐷]中有两个子块是零矩阵（其中A和D不一定为方阵），例如，令Z1=[𝐴𝑂𝑂𝐷],Z2=[𝑂𝐵𝐶𝑂]则易证r(Z1)=r(A)+r(D),r(Z2)=r(B)+r(C)2）当分块矩阵Z=[𝐴𝐵𝐶𝐷]有一个子块是零矩阵时，例如，令Z1=[𝐴𝐵𝑂𝐷],Z2=[𝐴𝑂𝐶𝐷]容易知道，当A可逆或D可逆（或A和D同时可逆），等式r(Z1)=r(A)+r(D),r(Z2)=r(B)+r(C)成立。证明：设m阶矩阵A可逆，D为n×p矩阵，则有[𝐴𝐵𝑂𝐷][𝐼𝑚−𝐴−1𝐵𝑂𝐼𝑝]=[𝐴𝑂𝑂𝐷]=[𝐼𝑚𝑂−𝐶𝐴−1𝐼𝑛][𝐴𝑂𝐶𝐷]由于[𝐼𝑚−𝐴−1𝐵𝑂𝐼𝑝]和[𝐼𝑚𝑂−𝐶𝐴−1𝐼𝑛]都是可逆矩阵，利用矩阵乘积的秩的定理，由上式可推出r[𝐴𝐵𝑂𝐷]=r[𝐴𝑂𝑂𝐷]=r[𝐴𝑂𝐶𝐷]，及r(Z1)=r(Z2)=r(A)+r(D)，类似的，若n阶矩阵D可逆，则设A为m×q矩阵，则有[𝐼𝑚−𝐵𝐷−1𝑂𝐼𝑛][𝐴𝐵𝑂𝐷]=[𝐴𝑂𝑂𝐷]=[𝐴𝑂𝐶𝐷][𝐼𝑞𝑂−𝐷−1𝐶𝐼𝑛]于是等式同样成立。3）而当B是可逆矩阵或C是可逆矩阵时，由等式[𝐼𝑚𝑂−𝐷𝐵−1𝐼𝑛][𝐴𝐵𝑂𝐷][𝑂𝐼𝑝𝐼𝑚−𝐵−1𝐴]=[𝐵𝑂𝑂−𝐷𝐵−1𝐴]和[𝑂𝐼𝑛𝐼𝑚−𝐴𝐶−1][𝐴𝑂𝐶𝐷][𝐼𝑛−𝐶−1𝐷𝑂𝐼𝑞]=[𝐶𝑂𝑂−𝐴𝐶−1𝐷]可知r（Z1）=r(B)+r(DB-1A)2015级理科实验班高等代数与解析几何课程论文2r(Z2)=r(C)+(AC-1D)。4）当设A∈Zm,s(K)，D∈Zt,n(K)，B∈Zm,n(K)时，则可证：r(Z1)≥r(A)+r(D),r(Z2)≥r(B)+r(C)。先证r(Z1)≥r(A)+r(D)，证明：设A标准形为M1=[𝐼𝑟𝑂𝑂𝑂],r=r(A)D标准形为M1=[𝐼𝑘𝑂𝑂𝑂],k=r(D)Z1=[𝐴𝐵𝑂𝐷]对Z1前m行s列做初等变换，对它的后t行n列做初等变换可把Z1变为Z1=[𝑀1𝐵1𝑂𝑀2]利用M1左上角的1经初等变换消去它右边B1位置中非零元，再利用M2左上角的1经初等变换消去它上面的非零元，于是Z1可化为：Z2=[𝐼𝑟𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝐵2𝑂𝑂𝑂𝑂𝐼𝑘𝑂𝑂𝑂]∴r(Z1)=r(Z2)=r+k+r(C2=)≥r+k∴r(Z1)≥r(A)+r(D)证毕同理可证r(Z2)≥r(B)+r(C)。5）一般情况下，令Z=[𝐴𝐵𝐶𝐷]=[𝐼𝑚𝐼𝑚𝐼𝑚𝐼𝑚],此时r(Z)=r(A)=r(D)所以不等式r[𝐴𝐵𝐶𝐷]≥r(A)+r(D)不成立。综上所述，设Z1=[𝐴𝐵𝐶𝑂]，Z2=[𝑂𝐵𝐶𝐷],则1若B可逆或C可逆（或B和C同时可逆），则r(Z1)=r(Z2)=r(B)+r(C);2若A可逆，则r(Z1)=r(A)+r(CA-1B)若D可逆，则r(Z2)=r(D)+r(BD-1C)3r(Z1)≥r(B)+r(C),r(Z2)≥r(B)+r(C)1.2一般矩阵对于矩阵[𝑎𝑏𝑐𝑑]，可以通过左乘和右乘初等矩阵（及通过行和列初等变换），化成对角矩阵来计算秩，将其推广到分块矩阵：设Z=[𝐴𝐵𝐶𝐷]，若A可逆，则有2015级理科实验班高等代数与解析几何课程论文3[𝐼𝑚𝑂−𝐶𝐴−1𝐼𝑛][𝐴𝐵𝐶𝐷][𝐼𝑚−𝐴−1𝐵𝑂𝐼𝑞]=[𝐴𝑂𝑂𝐷−𝐶𝐴−1𝐵]所以r(Z)=r(A)+r(D-CA-1B)(|A|≠0)同理，若D可逆，则有[𝐼𝑚−𝐵𝐷−1𝑂𝐼𝑛][𝐴𝐵𝐶𝐷][𝐼𝑝𝑂−𝐷−1𝐶𝐼𝑛]=[𝐴−𝐵𝐷−1𝐶𝑂𝑂𝐷],所以r(Z)=r(A)+r(A-BD-1C)(|D|≠0)2推广由上题可得分块矩阵的秩的降阶公式r(Z)=r(A)+r(D-CA-1B)(|A|≠0)将其改写为：r(D-CA-1B)=r[𝐴𝐵𝐶𝐷]-r(A)令A=In,C=-A,D=O,则上式变为r(O+AIn-1B)=r[𝐼𝑛𝐵−𝐴𝑂]-r(I)∴r(AB)=r(O+AIn-1B)=r[𝐼𝑛𝐵−𝐴𝑂]-r(I)=r[𝐵−𝐼𝑛𝑂𝐴]-r（I）≥r(A)+r(B)−r(𝐼𝑛)=r(A)+r(B)−A的列数3应用例：设A和B分别是m×n和n×l矩阵，且AB=O，证明r(A)≤n−r(B)。证明：因为AB=O，由Sylvester不等式得O=r(AB)≥r(A)+r(B)—n故r(A)≤n−r(B)4结语本文通过对分块矩阵的讨论得出分块矩阵的降阶公式，并推导出Sylvester不等式，它在矩阵的秩中很有用。5致谢对于本文写作中所产考文献的作者及在本文写作给予帮助的人表达谢意。同时对廖老师的悉心授业表示感谢。2015级理科实验班高等代数与解析几何课程论文4参考文献1易忠《高等代数与解析几何（上册）》清华大学出版社2周儒东；周儒省《佛山科学技术学院学报(自然科学版)》2013年第06期3邱森；朱林生《高等代数探究性课题精编》武汉大学出版社4刘峥嵘《在分块矩阵下Sylvester不等式的进一步探讨》哈尔滨师范大学自然科学学报5贾岸平．《分块矩阵及矩阵和的秩》长春工业大学学报