同步电机坐标变换

电机学读书报告1同步电机的坐标变换[摘要]由于大部分电感随角亦即随时间而周期变化，同步电机电压和磁链方程是具有时变系数的矩阵微分方程。这种方程式的解析解相当难求。因此，早期对于同步电机的研究，多半都首先运用“坐标变换”或“变量变换”对这种将参考坐标设置在定子三相轴线上的基本方程式进行处理，然后求解。以后，则又出现了将参考坐标仍设置在定子上的坐标变换。[关键词]同步电机；派克变换；克拉克变换；顾氏变换；莱昂变换自20世纪20年代以来，先后建立的坐标系统主要有以下四种：运用双反应原理，并将参考坐标设置在转子上的0dq坐标系统。这一坐标系统由派克首先使用，因而这种坐标变换常称为派克变换，相应的变换后的变量则称为派克分量或0dq分量。运用双反应原理，并将参考坐标设置在定子上的0坐标系统。这一坐标系统由克拉克等首先使用，因而这种坐标变换又称为克拉克变换，相应的变换后的变量则称为克拉克分量或0分量。运用旋转磁场原理，并将参考坐标设置在转子上的0FB坐标系统。这一坐标系统由顾敏琇首先使用，因而这种坐标变换又称为顾氏变换，相应的变换后的变量则称为顾氏分量或0FB分量。运用旋转磁场原理，并将参考坐标设置在定子上的120坐标系统。这一坐标系统由莱昂首先使用，因而这种坐标变换又称为莱昂变换，相应的变换后的变量则称为莱昂分量或120分量。这些坐标变换又有守恒变换和不守恒变换之分。所谓守恒变换指变换前后电磁功率守恒，亦即用变换前后电压、电流分量书写的电磁功率表示式，具有相似的形式。不守恒变换则不然。至于这些坐标系统的使用，则因所研究问题的性质、所要求的精度、所使用的研究工具而异。一般我们按下述原则选用坐标系统：分析对称运行方式时，选用参考坐标设置在转子上的坐标系统。电机学读书报告2分析不对称运行方式时，选用参考坐标设置在定子上的坐标系统。分析稳态运行方式时，选用按旋转磁场原理建立的坐标系统。分析暂态过程时，选用按双反应原理建立的坐标系统。下面，本文主要对派克变换作主要介绍，而对克拉克变换、顾氏变换以及莱昂变换则仅作简要介绍。一、派克变换（一）派克变换的特点派克变换的基础是“任何一组三相平衡定子电流产生的合成磁场，总可由两个轴线相互垂直的磁场所代替”的双反应原理。根据这一原理，将这两根轴线的方向选择得与转子正、交轴方向相一致，使三相定子绕组电流产生的电枢反应磁场，由两个位于这两轴方向的等值定子绕组电流产生的电枢反应磁场所代替，就称派克变换。因此，简言之，派克变换相当于观察点位置的变换——将观察点从在空间不动的定子上，转移到再空间旋转的转子上，并且将两个位于转子正、交轴向的等值定子绕组，替代实际的三相定子绕组。派克变换的更普遍含义，是三相不平衡电流的变换。设三相电流不平衡时，030iiiicba。则令0'iiiaa、0'iiibb、0'iiicc，就可由三相不平衡的ai、bi、ci中分解出一组三相平衡的'ai、'bi、'ci，这一组电流产生的磁场，可由位于转子正、交轴向的两个等值定子绕组的磁场所替代。由此可见，更普遍的派克变换应该是三相不平衡的定子电流ai、bi、ci，变换为另三个电流或三个电流分量——派克分量，其中之一就是因三相电流不平衡而有的“零轴电流分量0i”。经派克变换而得的另两个电流分量，则分别是“正轴等值定子绕组电流分量di”和“交轴等值定子绕组电流分量qi”。只有这样，三个电流ai、bi、ci变换为另三个电流di、qi、0i，才符合线性变换的基本原则——变换前后的变量数保持不变。更为特殊的是三相平衡而且对称电流的派克变换。此时，由于0cbaiii，没有零轴电流分量。而且，由于三相电流幅值相等，相位各相差32，当它们的频率为同步频率时，产生的合成磁场将在空间以同步速旋转。如转子也以同步速旋转，则替代这一磁场的正、交电机学读书报告3轴等值定子绕组磁场将不交变。与之对应的等值定子绕组电流di、qi，将只有单向分量。而且，这些单向分量电流随时间而变化的规律，又与定子绕组电流的幅值随时间而变化的规律相一致。（二）派克变换的数学描述派克变换的数学描述（以电流为例）：abcdqPii0(1)式中00iiiiqddq，cbaabciiii而矩阵P——在采用不守恒变换时，常定义为21212132sin32sinsin32cos32coscos32P(2)由于角θ为任意值时P总是非奇异矩阵，总可求逆，从而总可进行派克逆变换：01dqabciPi(3)式中的派克逆变换矩阵1P不难证明为2132sin32cos2132sin32cos21sincos1P(4)显然，这些变换关系同样适用于磁链和电压。下面，就运用上述关系将磁链和功率变换以派克分量表示，并进一步阐明不守恒变换与守恒变换的区别。同步电机的磁链方程如下电机学读书报告4QDfcbaQQQDQfQcQbQaDQDDDfDcDbDafQfDfffcfbfacQcDcfcccbcabQbDbfbcbbbaaQaDafacabaaQDfcbaiiiiiiLMMMMMMLMMMMMMLMMMMMMLMMMMMMLMMMMMML(5)将上式简写为fDQabcrrrssrssfDQabciiLLLL(6)对照式(5)、(6)可见，式(6)中的abc、fDQ、abci、fDQi都是3×1阶列向量，而ssL、srL、rsL、rrL则都是3×3阶方阵。然后对它进行派克变换fDQdqrrrssrssfDQabcrrrssrssfDQabcrrrssrssfDQabcfDQdqiiUPLLLLUPiiUPUPLLLLUPiiLLLLUPUP011000000000000000--fDQdqrrrssrssiiLPLPLPPL011(7)式中U为单位矩阵。可以证明，上式中01000000LLLPPLqdss(8)其中20023lmlLd20023lmlLq0002mlL电机学读书报告5000000aQaDafsrmmmPL(9)0230002300231aQaDafrsmmmPL(10)此外，将上式中rrL的各个元素改写如下QDfDfDfrrLLmmLL0000(11)于是，变换后的磁链方程为QDfqdQaQDfDaDfDfafaQqaDafdQDfqdiiiiiiLmLmmmLmLmLmmL0000002300002300023000000000000(12)再对电磁功率作类似的变换。由ccbbaaabctabciuiuiuiuP(13)考虑到ttdqtabcPuu10、01dqabciPi可得0110dqttdqiPPuP可以证明，上式中3000230002311PPt电机学读书报告6于是00232323iuiuiuPqqdd(14)观察式(12)、(13)、(14)可见：经变换，所有电感系数都从时变变成了非时变，这正是这种变换的突出优点。经变换，磁链方程系数矩阵中定子和转子间的互感系数，从可逆变成了不可逆，以致使运用这一方程时有某些不便。运用变换前a、b、c三相电流、电压书写的电磁功率表示式，与运用变换后d、q、0分量电流、电压书写的电磁功率表示式中各项系数都有差异，这就是这一变换之所以称“不守恒”变换的由来。但比较式(13)、(14)又可见如将取正、交轴分量时的乘数23改为23，求取零轴分量时的乘数31改为31，就可将不守恒变换改为守恒变换。换言之，如取21212132sin32sinsin32cos32coscos32iP(15)2132sin32cos2132sin32cos21sincos321iP(16)对电磁功率方程式(13)进行派克变换，则由于1000100011111itiitiPPPP(17)就可得iiqiqididiiuiuiuP00(18)而如运用式(15)、(16)对原始的磁链方程式进行派克变换，还可得电机学读书报告7QDfiqidiQaQDfDaDfDfafaQqaDafdQDfiqidiiiiiiiLmLmmmLmLmLmmL0000002300002300023000002300000232300(19)由式(19)可见，采用式(15)、(16)所示的变换矩阵时，不仅变换前后电磁功率可以守恒，定子和转子间的互感系数也都可以保持可逆。虽然，式(18)、(19)中所有磁链、电流、电压的派克分量，都是以下标“i”表示的、由守恒的派克变换求得的分量。最后，观察式(15)、(16)可以发现，为使变换守恒，所运用的变换矩阵应是正交矩阵。（三）运用派克变换表示的磁链方程和电压方程1.磁链方程推导过程省略，直接写出磁链方程如下：QDfqdQaQDfDaDfDfafaQqaDafdQDfqdiiiiiixxxxxxxxxxxxxx0000000000000000000000000(20)上式有以下几个特点：式中所有感抗都是非时变参数。因经派克变换，将观察点由定子侧转移到转子侧，并将定子三相绕组转换为三个等值绕组后，正、交轴等值定子绕组分别位于转子正、交轴向，它们的磁轴与转子各绕组磁轴相对静止；它们的自感和互感磁通路径上的磁导，以及相应的自感抗和互感抗，不再随转子位置的变化而变化。至于零轴，由于三相绕组中流过零轴电流时不能形成经空气隙穿越转子的磁通，“零轴等值定子绕组”的感抗也不随转子位置的变化而变化。电机学读书报告8式中d、q、0三组变量互不相关。因经派克变换，参考坐标转移至相互垂直的转子正、交轴，分别位于这两个轴向的绕组相互间没有磁耦关系。而另一个完全独立的“零轴等值定子绕组”，则与这个两个绕组均与磁耦关系。式中所有互感抗都可逆。因这一磁链方程是以标幺值表示的，以标幺值表示时，只要适当选择转子侧各电磁量的基准值，就可使所有互感抗都可逆。2.电压方程0000000000000000000