第四章-线性系统的根轨迹法(下)

1164-23在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个0.6m~0.9m长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为10.16ms。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T可略去不计。要求：(1)概略绘出0aK时系统的根轨迹图；(2)确定增益aK的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707。－+滤波器2110sTs电机放大器1aKs发电机11s电机0.251s轧辊1s1sRsCs－+(b)图4-47轧钢机控制系统解本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。(1)绘系统根轨迹图电机与轧辊内回路的传递函数120.250.2510.250.5Gssss令0T，系统开环传递函数为2220.50.50.510.51aKsKGsssssss式中，0.5aKK。概略绘制根轨迹图的特征数据为：渐近线：交点与交角2.50.6254a45,135a分离点：由11200.51ddd解出0.212d。根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程20.51sssK4322.520.50ssssK列劳思表1174s12K3s2.50.52s1.8K1s0.92.51.8K0sK令0.92.50K，得0.36K。令21.80sK代入sj及0.36K，解出0.447。交点处20.72aKK系统概略根轨迹图如图(a)所示。-11-0.5j0.212d0-2-110.625a-0.4470.4471s0.7072s0.72aK图(a)概略根轨迹图(2)确定使系统0.707的aK在根轨迹图上，作0.707阻尼比线，得系统主导极点1,20.1550.155sj利用模值条件，得1s处的0.0612K；分离点d处的0.0387K。由于2aKK，故取0.07740.1224aK，可使0.7071；取0.0774aK，可使1。20.51010.5aKsss118(3)MATLAB验证0.707时，系统主导极点及增益和根轨迹分离点处系统增益如图(b)所示；系统根轨迹图如图(c)所示。分别令aK为0.05，0.11，0.4和0.8，系统的单位阶跃响应如图(d)所示。0.11aK时，系统动态性能%2.17%,27.6sst=2%0.4aK时，系统动态性能%53.2%,57.9sst=2%MATLAB程序：exe423.m%建立等效开环传递函数模型G=zpk([],[-0-0.5-1-1],1);z=0.707;%绘制相应系统的根轨迹figure(1)rlocus(G);sgrid(z,'new')%取阻尼比为0.707axis([-0.50.1-0.30.3])figure(2)K=0.0612;%最佳阻尼比对应的根轨迹增益holdon;rlocus(G,K)%阻尼比为0.707时,系统的闭环特征根axis([-1.50.5-11])rlocus(G);%Ka=0.05，0.11，0.4，0.8时的阶跃响应Ka=0.05;%Ka可相应设置numc=[0.5*Ka];denc=[12.520.50];[num,den]=cloop(numc,denc);%系统闭环传递函数roots(den);%系统闭环极点sys=tf(num,den);t=0:0.01:120;figure(3)step(sys,t);gridon;图(b)确定0.707以及分离点处的aK(MATLAB)119图(c)轧钢机系统根轨迹图(MATLAB)(1)0.05aK(2)0.11aK(3)0.4aK(4)0.8aK图(d)轧钢机系统时间响应(MATLAB)4-24图4-48(a)是22V鱼鹰型倾斜旋翼飞机示意图。22V既是一种普通飞机，又是一种直升机。当飞机起飞和着陆时，其发动机位置可以如图示那样，使22V像直升机那样垂直起降；而在起飞后，它又可以将发动机旋转90，切换到水平位置，像普通飞机一120样飞行。在直升机模式下，飞机的高度控制系统如图4-48(b)所示。要求：(1)概略绘出当控制器增益1K变化时的系统根轨迹图，确定使系统稳定的1K值范围；(2)当去1280K时，求系统对单位阶跃输入1rtt的实际输出ht，并确定系统的超调量和调节时间2%；(3)当1280K，0rt时，求系统对单位阶跃扰动1Nss的输出nht；(4)若在Rs和第一个比较点之间增加一个前置滤波器20.51.50.5pGsss试重作问题(2)。(b)控制系统图4-48V-22旋翼机的高度控制系统解本题属于应用根轨迹法设计系统参数的综合性问题，其中包括引入前置滤波器，以抵消闭环零点的不利影响，改善系统性能。(1)绘制系统的根轨迹图由图4-48(b)，系统开环传递函数211.50.52011010.51KssGsssss0.510.050.12Kssssss式中10.01KK渐近线：交点与交角0.325a90a分离点：1111110.050.120.51dddddd0.022d根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程＋－NsRsHs＋控制器211.50.5Ksss飞机动力学模型12011010.51sss高度＋1210.050.120.510ssssKss整理得4322.150.3050.011.50.50ssKsKsK列劳思表4s10.305K0.5K3s2.150.011.5K2s0.30.302K0.5K1s20.0030.6220.4530.30.302KKK0s0.5K令20.4530.6220.0030KK，解得10.005K，21.368K令20.30.3020.50KsK，代入sj、1K及2K，解得10.09，20.977绘出系统概略根轨迹图，如图(a)所示。-0.1j0-0.05-0.5-1-20.325as0.022d0.090.977图(a)概略根轨迹图211.50.5102011010.51ssKssss122由于1100KK，因此使系统稳定的1K值范围为：100.5K以及1136.8K。应用MATLAB软件包，得到系统根轨迹图如图(b)所示。图(b)根轨迹图(MATLAB)(2)当1280K时，确定系统单位阶跃输入响应应用MATLAB软件包，得到单位阶跃输入时系统的输出响应曲线，如图(c)-(1)中虚线所示。由图可得%92.1%，43.9sst2%显然，系统动态性能不佳。(3)当1280K时，确定系统单位阶跃扰动响应应用MATLAB软件包，得到单位阶跃扰动输入下系统的输出响应曲线，如图(c)-(2)所示。由图可见，扰动响应是振荡的，但最大振幅约为0.003，故可略去不计。(1)单位阶跃输入响应(2)单位阶跃扰动响应图(c)V-22旋翼机的高度时间响应(MATLAB)(4)有前置滤波器时，系统的单位阶跃输入响应（1280K）211.50.5102011010.51ssKssss123无前置滤波器时，闭环传递函数14322.80.512.153.1054.211.4sssssss有前置滤波器20.51.50.5pGsss时，闭环传递函数21psGss4321.42.153.1054.211.4ssss可见，1s与2s有相同的极点，但1s有0.5和1两个闭环零点，虽可加快响应速度，但却极大增加了振荡幅度，使超调量过大；而2s的闭环零点被前置滤波器完全对消，因而最终改善了系统动态性能。应用MATLAB软件包，得有前置滤波器时系统的单位阶跃响应如图(c)-(1)中实线所示，其%7.08%，25.8sst2%MATLAB程序：exe424.m%建立等效开环传递函数模型G=zpk([-0.5-1],[0-0.05-0.1-2],1);%绘制相应系统的根轨迹figurerlocus(G);axis([-1.5,1.5,-1.5,1.5]);%系统输入时间响应%原系统K=280;num1=[K1.5*K0.5*K];den1=[0010];num2=[1];den2=[10021530.51];[numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2);[numr,denr]=cloop(numc,denc);sysr=tf(numr,denr);t=0:0.01:80;figurestep(sysr,t);holdon;%添加前置滤波器numf=[0.5];denf=[11.50.5];[num,den]=series(numr,denr,numf,denf);sys=tf(num,den);step(sys,t);grid%系统扰动时间响应K=280;numh=[K1.5*K0.5*K];denh=[0010];numg=[1];deng=[10021530.51];124[numn,denn]=feedback(numg,deng,numh,denh);sysn=tf(numn,denn)figurestep(sysn,t);grid4-25在未来的智能汽车-高速公路系统中，汇集了各种电子设备，可以提供事故、堵塞、路径规划、路边服务和交通控制等实时信息。图4-49(a)所示为自动化高速公路系统，图4-49(b)给出的是保持车辆间距的位置控制系统。要求选择放大器增益aK和速度反馈系数tK的取值，使系统响应单位斜坡输入21Rss的稳态误差小于0.5，单位阶跃响应的超调量小于10%，调节时间小于2s=5%。＋－RsCsaK137ss位置1stK－速度(b)车辆间距控制系统图4-49智能汽车-高速公路系统解本题应用等效根轨迹技术及MATLAB设计软件包，确定多个系统参数的取值。设计过程中，需要综合运用劳思稳定判据、稳态误差计算法、主导极点法以及动态性能估算法等知识。(1)稳定性要求由图4-49(b)知，速度反馈内回路传递函数137ataKGsssKK开环传递函数21021ataKGssssKK2211012121atatataKKKsssKKKK式中，速度误差系数21avtaKKKK闭环传递函数21021ataaKssssKKK125321021ataaKssKKsK首先，tK和aK的选取应保证闭环系统具有稳定性。列劳思表如下：3s121taKK2s10aK1s0saK由劳思稳定判据知：使闭环系统稳定的充分必要条件是0aK，1021010taaKKK也即0aK，210.1taKK(2)稳态误差要求根据系统在单位斜坡输入下的稳态误差要求2110.5tassvaKKeKK导出0.521atKK由于要求0aK，故应有0.50tK，因此要求210.5taKK从系统稳态性能（稳定性与稳态误差）考虑，tK和aK的选取应满足0aK21210.50.1taaKKK由于0tK，故应有42aK。于是，tK和aK选取时应满足的条件可进一步表示为42aK102110taa