弹塑性力学大题

已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示，弹性剪切模量为G，Poisson比为，剪切屈服极限为s，进入强化后满足constGdd,/。若采用Mises等向硬化模型，试求（1）材料的塑性模量（2）材料单轴拉伸下的应力应变关系。解：（1）因为221232*123121JdJhdp所以dhdp*3*1,3*3Gddhp（2）弹性阶段。因为)1(2EG，所以)1(2GE由于是单轴拉伸，所以E塑性阶段。ijpijfdd1111)1(fdfhdklklp解：在板的固定端，挠度和转角为零。显然：0)(byax满足0)(2)(2)(222221byxaxCxax故222222111)()(byaxCwCw满足所有的边界条件。2、用Ritz法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）步骤：（1）设挠度的试验函数w(x)=c1x(lx)+c2x2(l2x2)+…显然，该挠度函数满足位移边界w(0)=0，w(l)=0。（2）求总势能l002qwdxdxwEI21lVU仅取位移函数第一项代入，得l0121dxxlqxcc2EI21（3）求总势能的极值EI24qlc0c211代入挠度函数即可02))((2)y(222221ybyaxCby1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示，试写出挠度表示的各边边界条件：解：简支边OC的边界条件是：00y0022220)(MxyDMyyy自由边AB的边界条件是：0)(2222bxbyyxyM，qyxyDVbybyy23332两自由边的交点B：0,byaxBbyaxxyRM,2是B点支座的被动反力。如右图所示，矩形板在四个角点作用分别作用大小为F的集中力，其中A点和C点的集中力向上，B点和D点的集中力向下，四条边均为自由，求板的挠度。解：板边的边界条件为：02axxM，02axxV02byyM，02byyV4个角点的边界条件均为：FMxbyaxxy,2)2(由于横向分布荷载0q，因此基本微分方程变为：022假定坐标圆点的挠度为零，上式的解是xy式中的是待定常数。使用)(2222ywxwDMx)(2222xwywDMyyxwDMxy2)1(])2([2333yxwxwDVx])2([2333yxwywDVyBBxyByxwDMR])1(2[-)(222xQxD2yQyD则有：0yxMM，)1(DMxy，0yxQQ，0yxVV显然板边的边界条件能自然满足，为满足角点的边界条件，应有3)1(62332,2GtEtMFbyaxxy，因此得：33GtF挠度解就是：xyGtF33如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条件解：在x=0上，l=1，m=0，(x)x=0(1)+(yx)x=00=y(xy)x=0(1)+(y)x=00=0(x)x=0=－y(xy)x=0在斜边上l=cos，m=sinxcosyxsin=0xycosysin=01yx正方形薄板，三边固定另一边受均匀压力q作用，应力函数取为32221221-yAyxAqx，基于应力辩分原理Ritz法求解（v=0.3）步骤：有应力函数求得应力yAxAxFxx2212262-y21222-xyAqyFyy，xyAxy124yx满足力边界条件，一定满足平衡方程。由于位移边界已知位移为0，外力余势能为0，总余势能就是应变余能，平面应力与线弹性情况下，应变余能为dxdyUUxyxyyyxxc21，将应变由应力表达得dxdyEUxyyxyxc22212221,将所求应力代入方程，求0/1AIIc,0/2AIIc,即得22212175,21730aqAaqAW=-3FXY/Gt3一处在平面应变状态下（0z）的理想刚塑性体，其材料的应力应变关系服从Levy-Mises增量理论，即ijijdds，且材料体积是不可压缩的，考察其中的一个微单元体，试证明：（1）其应力状态分量可分解为静水压力状态与纯剪应力状态之和：（2）Tresca和Mises屈服条件重合。解：（1）00000000000000000000xyxxyxijyxyyxyzz其中03xyz，上式第一项的第一不变量为0，故是纯剪状态，第二项为静水压力状态，得证。（2）=0，所以,所以平面应变状态：2=2==故屈服条件重合薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z(1)首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3；(2)先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s；(3)比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。解：（1）求塑性模量：在单轴应力状态下，弹性应变是。而塑性应变是塑性模量应是（2）加载判别：当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决于(f/ij)dij是否大于零。该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：sz=z，sx=sy=z，sz=sz=z，由于z、dz同号，、dz同号，因此，（3）使用流动法则求塑性变形（4）按上述路径进行积分，塑性变形路径（1）：z=s，材料屈服，再增加剪应力dz0，dz=0，路径（2）：当剪应力z=s/3，材料屈服，增加应力z，即dz0，dz=0，z=s/3EEsss/3(1)(2)(3)EeEsepEddhp3312222szzJ)232(232zzzzijijddJdf0ijijdfzzzzzzijijpzJddJhfdfhd3223)232(231122zzzzzddJh)31(112zzzzzzzzzzzijijpzddJhJddJhfdfhd)3(21123)232(23112122222231zssJ3022)(331sszzzspzdh3/0223ln2sssxh2ln2hs3022)3(331szzzzspzdh3/03arctan3339sszszhsh413ssszszzzzszpzhdh03022arctan1)31(3141hs30223)(31sszzsspzdhsssxh022ln322ln23hs路径（3）：在加载中z=3z，z=s/2材料屈服，且dz=3dz，塑性变形与加载路径有关三种应力路径下的弹性应变都是薄壁圆筒平均半径为R，壁厚为t，轴线方向为z，轴部受轴向拉力T和扭矩M共同作用，材料的弹性模量为E，剪切模量为G，拉伸屈服条件为s。试：写出单位体积弹性应变能的表达式；分别写出Mises以及Tresca屈服条件的具体表达式；使用Mises屈服条件给出：轴向拉力T和扭矩M满足何种关系时，圆筒处于加载状态。解：应力状态为22002000022ijMRtMTRtRt，根据ij=0得出其三个主应力分别为22214()2222TTMRtRtRt，222234()2220,2TTMRtRtRt第一不变量1132TIRt，第二不变量222214()622TMJRtRt单位体积应变能21211182WIJKG，将1I，2J代入此式即可。其中323(12)3(12*)3EEKKGKG，化简此式得93EGKGE（2）Mises屈服条件为223sfJ，代入2J即得。Tresca屈服13s，将13,代入即得。（3）不会，别人的答案。2223330222ijijijzzrrzzzzzzijfdsdsdsdsdsdsdsdJJJ时加载，反之卸载，上式等于零时中性变载。sszzzspzdh2/2)32(231211hs21133)2(2312/2hdhszzzspzssEzezGGszez3设变长为a的正方形薄板，四边均固定，受均布横向荷载q作用，求板弯曲内力（应力变分原理）步骤：对于线弹性力学问题，应变余能与应变相等，本题位移边界位移均为零，因此外力余势能为0.总余势能用内力表示dxdyMMMMMDUUIIxyyXyxcc2222122)1(21（1）所设内力试验函数应满足平衡方程和力边界条件。本问题没有力边界，仅需满足平衡方程0222222qyMyxMxMyxyx设0,4,42121xyyxMycqMxcqM（2）满足平衡方程代入（1）求出总余势能。使用0/1dcIIc，得48/21ac代入（2）得弯矩222/12/14axaqMx若材料为Mises硬化材料，已知它在纯剪作用下的剪应力与塑性剪应变关系为）（p。且已知其剪切屈服应力为s，试写出塑性模量和加载面的表达式。解：Mises材料的加载面方程可写成0)(pk如取内变量为累积塑性应变ppd，则上式变为0)(pdk纯剪状态下的等效应力为332J因为221232*123121JdJhdp所以dhdp*3*1)(3*3,ppddh加载面的方程为0)(3pdk岩土材料处于平面应力状态，一点的应力分量为(,,)xxxy，假设z为中主应力，试：（1）使用已知应力分量写出Mohr-Coulumb屈服条件的具体表达式。（2）应用关联流动法则写出塑性应变增量的表达式，并写出塑性体积应变增量。（3）讨论流动关联法则对岩土材料是否合适，并指出为什么？（提示：用主应力表示的Mohr-Coulumb屈服条件为：131311()()sincos022c）解：（1）根据应力状态求出主应力大小。00000xyxijyxy，根据0ij，解得主应力大小为分别为221()22xyxyyx，20，223()22xyxyyx，将以上三个主应力代入13131