高中数学-第一章-算法初步-割圆术教学设计-新人教A版必修3

割圆术求圆周率一、本课教学内容的本质、地位、作用分析割圆术求圆周率是算法初步这一章结束后设置的阅读与思考内容，是对本章所学知识的具体应用。“割圆术”是由中国古代的数学家刘徽提出的，是当时计算圆周率的比较先进的算法，至今仍有一定的应用价值。它体现了以直代曲、无限趋近、“内外夹逼”的思想，这些思想是人们在解决数学问题时最基本、最朴素的思想，在其他领域也有着广泛的应用。“割圆术”这个算法本身很有趣，操作性强，“算理”明确，能被翻译成计算机程序上机运行，体现了中国古代数学的算法特征。同时，围绕着圆周率的计算这个问题有很多有趣的故事，例如从古至今许多数学家孜孜不倦的计算圆周率的故事及一些经典而有趣的算法等，从而激发了学生的民族自豪感和爱国精神，培养了追求科学真理、为科学而献身的精神，培养创新精神和对新事物的敏感性。二、教学目标分析1.知识目标：使学生在明确问题的基础上，能设计方法，通过编写计算机程序求出圆周率。2.能力目标：在教学过程中，让学生体会割圆术算法步骤，使学生深刻理解由特殊到一般的归纳推理思维。在让学生自主探究利用计算机计算圆周率的过程中，培养学生的逻辑思维能力以及解决实际问题时主动应用数学知识的能力。3.德育渗透目标：通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴实无华的内在美，学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学应用意识，激发学生勇于探索、敢于创新的精神，优化学生的思维品质。三、学情分析：理解“割圆术”的算法步骤对于学生来讲并不难，学生已经具备了由具体问题抽象概括、总结归纳的能力。但写出这一算法所对应的程序框图，尤其是循环结构的程序框图对学生来说难度较大，因此，这一部分的教学由教师引导、小组交流相结合突破难点。四、教学策略分析：《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程。新课程标准的价值取向是要求教师成为决策者而不是执行者，要求教师创造出班级气氛、创造出某种学习环境、设计相应教学活动并表达自己的教育理念等等。基于以上思想，本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论式教学方式。五、教学过程：1.【追本溯源、感受辉煌】算法初步这一章的学习结束了，在这一章，我们学习了算法、程序框图和算法语句。这些知识看起来很简单，其实可以解决大问题。今天咱们就踏着科学家的足迹重温圆周率的研究历程，来体验一下计算机给我们带来的改变。先请一位同学根据你课前查阅的资料，给大家介绍一下你所了解的圆周率。预案1：学生可能会从圆周率的定义及刘徽提出的“割圆术”和祖冲之计算的精确圆周率等方面作答。其他同学还有补充吗？预案2：学生可能还会对圆周率计算的发展史感兴趣。刚才两位同学说得非常精彩。他们分别叙述了圆周率的定义和计算的发展史。在计算的发展史中，有三点值得我们格外注意：①我国最早在先秦时期使用圆周率的值为3；②公元263年我国数学家刘徽提出“割圆术”，并将圆周率计算到3.14；③南北朝时期祖冲之将圆周率计算到3.1415926~3.1415927之间，他的计算结果不但是当时最精密的圆周率，同时在世界上处于领先地位长达1000多年。他是继承并发展了刘徽提出的“割圆术”，什么是“割圆术”呢？我们先看下面这个问题。【设计意图】通过让学生自己查阅资料，了解圆周率及其计算的发展史，从而感受灿烂辉煌的中华文化，激发民族自豪感和爱国精神。2.【抽丝剥茧、感悟思想】比如现在有一条弧，做它的任意一条割线与弧交于,AB两点，显然AB的长度大于线段AB的长度。接下来，取AB的中点，那么与线段AB相比，这条折线的长度更接近AB的长度。继续取这两段弧的中点，所得折线的长度就进一步接近AB的长度了。那我们怎么才能使得折线的长度无限接近AB的长度呢？【问题1】怎样才能使折线的长度无限接近AB的长度？预案：学生很容易意识到要继续取各弧的中点，所得折线的长度就越来越接近AB的长度。对。其实，不一定非得取中点，取三等分点也可以，甚至取弧上任意一点都可以。不过为了方便起见，我们不妨取中点。这样我们就可以得到这条曲线长度的近似值。这种方法就叫做“以直代曲”。它不但可以帮助我们求得曲线长度的近似值，也可以帮助我们解决曲边图形的面积问题。比如说，我们可以用圆内接正六边形的面积来估计该圆的面积，但这个值显然不够精确。如果想要得到更精确一些的值，该怎么做呢？预案：根据前面割弧所得的体验，学生容易想到取各弧的中点取各弧的中点得到一个圆内接正十二边形，它的面积更接近圆的面积。如果再继续分割，做成圆的内接正二十四边形，它的面积更进一步接近圆的面积了。要想让圆内接正多边形的面积无限接近圆的面积该怎么办？预案：不断分割下去对。当圆的半径等于1时，圆的面积就是圆周率。而边数n可以无限增大，n越大，得到的面积S越接近于，将来我们会学到它的极限值就是圆周率。这就是刘徽所提出的“割圆术”。“割圆术”完美体现了“无限逼近”以及“以直代曲”的思想。这两种思想在其他领域还有广泛的应用。下面，我们先体会体会割圆术的原理与手工计算。【设计意图】在师生交流中，提出以直代曲及无限逼近等思想，逐渐拨开表象看实质，让学生感悟“割圆术”所体现的思想，并体会方法的震撼力。这样一来，学生会对接下来的学习充满了好奇与期待。3.【传承知识、体会方法】因为圆周率等于圆面积与半径平方之比，为了更加简单的计算，不妨设圆的半径为1.此时，我们应该如何计算圆内接正六边形的面积呢？【问题2】如何计算圆内接正六边形的面积。预案：由于学生初中进行过大量平面几何的训练，所以不难得知：圆的半径等于1，故这个正六边形的边长也等于1.而这个正六边形可以看成是由六个边长为1的正三角形组成的。其中，在直角三角形OPA中利用勾股定理可以求得正三角形的高26612xh，那么正三角形的面积就是二分之一底乘高，底是正六边形的边长，即6613**24xh，因此圆内接正六边形的面积636*4S6266611236*4xxhS接下来，取圆的六段弧的中点，就得到圆内接正十二边形。从图中，你发现12S与6S的关系了吗？预案：由于有图形的直观做辅助，学生很容易观察得到12S等于6S加上6个等腰三角形的面积。那么如何利用6S表示圆内接正十二边形的面积呢？OPQAOPQAB【问题3】如何利用6S表示圆内接正十二边形的面积？预案：学生根据前面计算圆内接正六边形的经验，很容易求出三角形PBQ的面积等于661**12xh，从而得到1266616***(1)2SSxh1266616***(1)2SSxh这样我们利用正6边形的面积很轻松地得到了正12边形的面积，那我要算圆的内接正24边形的面积又该怎么做呢？预案：有了前面从圆内接正六边形到圆内接正十二边形的演变过程，学生会自然而然的将圆弧继续等分就得到圆的内接正24边形。它比圆内接正12边形多出12个三角形，每一个三角形的面积等于12121**(1)2xh，所以圆内接正24边形的面积是24121212112***(1)2SSxh其中的12x与12h怎么呢？预案：学生会类比前面计算弦心距和边长的方法，在直角三角形POC中利用勾股定理求出22612612xxh。直角三角形OPC中利用勾股定理求出2121212xh。22612621212241212121212112***(1)2xxhxhSSxh谁能直接写出圆内接正48边形的面积呢？预案：有了前面1224,SS的计算公式，学生完全能够发现其表达式中所体现出的规律并类比得到48242424124***1)2SSxh（。其中2212241212xxh，2242412xh看来大家已经发现了圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的递增关系，那我们按照这个规律可以求得圆的内接正n边形的面积吗？【问题4】你能依照规律写出圆内接正n边形的面积吗？预案：根据前面的规律，学生一定能顺利写出2221***122nnnnnSSxh62.598S123.105829S243.132628S483.13935S963.141032S1923.141452S及2242412nnnxxh，22212nnxh我们给定边数n，就能计算出相应圆内接正n边形的面积S，也就是圆周率的近似值。从这一系列数据中你发现什么规律了吗？预案：学生通过观察数据不难发现随着边数n的增加，这个值越来越接近圆周率的精确值了。【设计意图】学生在教师的引导下，通过计算圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形的面积，由特殊到一般归纳总结出一般规律，体会“割圆术”的算法，为后面利用计算机编程求圆周率做好充分的铺垫。4.【古法新用、主动探究】这个算法中的边数n满足什么条件？预案：学生的第一反应是6的倍数，但随即自己就能纠正其结果。因为他会发现这个过程没办法求出18S。经过进一步思考找到边数满足的规律06=6*2，12312=6*2,24=6*2,48=6*2，从而归纳出这个算法中圆的内接正n边形的边数n可以写成6*2in的形式。并得到i的初始值是0，变化规律是每次增加1.从6S计算12S需要进行一次递推，从6S计算24S需要进行两次递推，从6S计算48S需要进行三次递推，……，也就是说i表示的是递推的次数。通过观察刚才的计算过程，不难发现，每一步的运算都惊人的相似，都是利用上一个圆内接正多边形的弦心距h计算出下一个圆内接正多边形的面积S，然后通过计算该正多边形的边长x进而计算出该圆内接正多边形的弦心距h，从而实现循环。下面，请同学们通过小组合作写出这个算法中最核心的部分即该循环结构的程序框图，并推举代表展示你的成果。【问题5】请同学们通过小组合作写出该循环结构的程序框图。（小组交流3分钟）学生之前学习过两种循环结构：直到型和当型。因此，在小组交流讨论中两种循环结构都有可能出现。预案1：该小组写的是直到型的循环结构。因为边数6*2in，而i表示的是递推的次数，所以选择i当循环变量，它的初始值是0。在循环体中，先后计算了弦心距h，面积S和边长x，直到2log6ni时，退出循环，否则反复执行循环体。你们是如何得到这个循环终止条件的呢？预案：学生根据6*2in，而直到型循环结构是直到满足条件就退出循环，所以应该将判断条件定为6*2in，从中就可以解出2log6ni说的非常好。其他小组还有不同的画法吗？预案2：该小组写的是当形循环结构。循环体和循环变量的选择与他们是一样的。区别是先判断循环终止条件，当条件成立时执行循环体，否则退出循环。所以我们的循环终止条件是2log6ni。时间关系，我们只补充完善其中一个程序框图。大家想补充哪一个呢？预案：当型的吧！下面我们把这个程序框图补充完整。预案：根据之前学过的程序框图的知识，学生很容易知道只要在前面加上终端框开始，并且输入边数n，同时给x，i和S赋上初值就可以了。当然，学生有可能丢落下个别细节，比如终端框，这些在学生们的共同纠错中很容易得到解决。他的展示讲解精彩吗？生齐答：精彩那掌声在哪里？（学生鼓掌）看来同学们对前面学习的程序框图理解非常深刻。下面，请同学们对照该程序框图共同协作写出与之对应的算法语句。为了节约时间，请两位同学到前面配合，一个人写，一个人输入。（展示课件上的标准程序框图）（学生活动）预案：两位同学一个在黑板上对照程序框图写算法语句，另外一个同步输入，两个人互相探讨不难写出其算法语句。INPUT“n=”;nx=1i=0S=6*SQR(3)/4WHILEi=LOG(n/6)/LOG(2)h=SQR(1-(x/2)^2)s=s+6*2^i*x*(1-h)/2x=SQR((x/2)^2+(1-h)^2)i=i+1WEN