函数图象解题方法与技巧

1对于二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)，一次函数y=kx+b(k≠0)，反比例函数y=xk(k≠0)，若将它们的函数图象向上(或下)平移m个单位，平移后的解析式分别为y=a(x-h)2+k±m，y=kx+b±m，y=xk±m；若将它们的函数图象向左(或右)平移n个单位，平移后的解析式分析为y=a(x-h±n)2+k，y=(x±n)+b，y=nx1。简言之：上加下减，左加右减(注意在上、下，左、右不同的平移中，加减的位置不同)。根据这一法则，可以顺利解答各类平移问题。一、求平移后的解析式例1把抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向右平稳3个单位，所得抛物线是()。(A)y=3(x+3)2-2(B)y=3(x+3)2+2(C)y=3(x-3)2-2(D)y=3(x-3)2+2提示：根据法则，选(D)例2在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0,b0)可以看成将直线y=kx沿y轴向上平行移动b个单位面得到，那么将直线y=kx沿x轴向右平行移动m个单位(m0)得到的直线方程是。提示：根据法则，平移后的直线方程为y=kx-km二、求平移前的解析式例3，把抛手线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2-3x+5，则有()。(A)b=3,c=7(B)b=-9,c=-15(C)b=3,c=3(D)b=-9,c=21分析：本题若先将y=x2+bx+c化为顶点式，按平移规律解答，较为繁琐，若采用逆推法，即将y=x2-3x+5［顶点式为y=(x-23)2+411］向左平移3个单位，再向上平移2个单位反推回去，即可得原二次函数图象，较为简单，因此，y=(x-23+3)2+411+2，化简得y=x2+3x+7。选(A)三、求满足某些条件的平移例4把抛物线y=-3(x-1)2向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于A(x1,0)、(x2,0)两点，已知x12+x22=926，则平移后的抛物线解析式为。分析：根据法则，平移后的解析式为：y=-3(x-1)2+k，即y=-3x2+6x+k-3。由x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=926，得(36)2-2×3)3(k=926，∴k=34。∴y=-3(x-1)2+34，即y=-3x2+6x-35。四、求过定点的平移例5函数y=3x+1的图象沿x轴正方向平行移动年单位，使它过点(1，-1)。分析：将函数y=3x+1的图象沿x轴正方向平移m个单位，可以看作向右平移m个单位，根据法则，平移后的解析式为y=3(x-m)+1，由平移后的图象过点(1，-1)可得m=35。五、求平移后的函数图象2例6(2001，宿迁)函数图象y=11x+1的图象是()。提示：把函数y=x1的图象向中平移1个单位，再向右平移1个单位后可得y=11x+1，本题选(C)。［另注：根据平移法则，(A)的解析式为y=x1+1；(B)的解析式为y=11x；(D)的解析式为y=11x+1］。六、根据信息的迁移，求平移后的解析式例7，阅读以下材料并完成后面的问题。将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式。解：在直线y=2x-3上任取两点A(1，-1)，B(0，-3)。由题意得知：点A向右平移个单位得A′(4，-1)；再向上平移1个单位得A″(4,0)。点B向右平移3个单位得B′(3，-3)；再向中平移1个单位得B″(3,-2)。设平移后的直线的解析式为y=kx+b,则点A″(4,0)，B″(3,-2)在该直线的解析式为y=2x-8.根据以上信息，解答下列问题：将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后的抛物线的解析式(平移后抛物线形状不变)解：给出两种解法：1)在抛物线y=-x2+2x+3上任取两点A(3,0)，B(1，4)，由题意知：点A向左平移1个单位得A′(-1，3)；再向下平移2个平移2个单位得A″(-1,1)。点B向左平移1个单位得B(0,4)；再向下平移2个单位得B″(0，2)一。设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+2x+c，则A″(-1，1)，B″(0，2)在抛物线上，可得解得b=0,c=2.2)由于y=-x2+2x+3=-(x-1)2+3，根据平移法则，可知平移后的解析式为:y=-x2+2一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。10xxy(A)1-1001xy(B)01(B)xy(B)y(A)-1-b+c=1，C=2.