分式专题复习训练试题及答案2015年01月24日

分式专题复习训练试题2015年01月24日一．填空题（共6小题）1．关于x的分式方程无解，则常数a的值是_________．2．已知分式方程有增根，则a=_________．3．分式方程﹣1=若有增根，则增根可能是_________．4．已知分式方程有增根，则k=_________．5．若关于x的分式方程无解，则m=_________．6．分式方程中的一个分子被污染成了●，已知这个方程无解，那么被污染的分子●应该是_________．二．解答题（共10小题）7．（2014•大庆）已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．8．（2014•黄石）先化简，再求值：（1﹣）÷（x﹣），其中x=+3．9．（2014•雅安）（1）|﹣|+（﹣1）2014﹣2cos45°+．（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=+1，y=﹣1．10．（2014•南宁）解方程：﹣=1．11．（2014•扬州）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．①求a，b的值；②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？12．（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1∴==x2+2+这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）当x∈（﹣1，1），试说明的最小值为8．13．（2014•泰安）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？14．（2014•辽阳）某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，若单独完成此项工程，甲工程对所用天数是乙工程队的2倍．（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作_________（用含a的代数式表示）可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队每天施工费2.5万元，求甲工程队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64万元．15．（2014•梧州）某市修通一条与省会城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会城市路程是500千米，普通列车走原铁路线路程是560千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5小时，求普通列车、动车的速度．16．（2011•厦门）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城．已知A、C两城的距离为360km，B、C两城的距离为320km，甲车比乙车的速度快10km/h，结果两辆车同时到达C城．设乙车的速度为xkm/h．（1）根据题意填写下表：行驶的路程（km）速度（km/h）所需时间（h）甲车360__________________乙车320x_________（2）求甲、乙两车的速度．分式专题复习训练试题2015年01月24日参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．关于x的分式方程无解，则常数a的值是3或0．考点：分式方程的解．菁优网版权所有分析：先把分式分式转化成整式方程，根据分式方程无解得出分母x+1=0，求出x的值，把x的值代入整式方程求出即可．解答：解：方程两边都乘以3（x+1）得：3x=ax+3x+3①，∴ax=﹣3，∴当a=0时，此分式方程无解；∵关于x的分式方程无解，∴x+1=0，x=﹣1，∴当x=﹣1时，a=3，∴当a=3时，此分式方程无解．综上，a=0或3．故答案为：3或0．点评：本题考查了分式方程的解，关键是能根据题意得出关于a的方程，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．2．已知分式方程有增根，则a=0．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求得a的值即可．解答：解：∵有增根，∴x=﹣3或3，3a﹣a|x|=x2+4x+3，即x2+4x+3=0，解答x=﹣1或﹣3，∴﹣3为增根，原方程的解为：x=﹣1，当x=﹣1时，原分式方程为：，∴a=0．故答案为：0．点评：本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．分式方程﹣1=若有增根，则增根可能是x=1或x=﹣1．考点：分式方程的增根．菁优网版权所有专题：计算题．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先让最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，得到方程的增根x=1或﹣1．解答：解：因为分式方程有增根，所以（x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或x=﹣1．故答案为：x=1或x=﹣1．点评：增根是让最简公分母为0时，未知数的值．4．已知分式方程有增根，则k=2．考点：分式方程的增根；解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）（2x﹣1）=0，得到x=2或，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣2）（2x﹣1），得2x﹣1+3（x﹣2）（2x﹣1）=（k﹣2）（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）（2x﹣1）=0，解得x=2或，当x=2时，3=0，这是不可能的．当x=时，k=2，故k的值是2．故答案为2．点评：本题考查了解分式方程，以及分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5．若关于x的分式方程无解，则m=﹣4或6或1．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．解答：解：（1）x=﹣2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m=3×（﹣2﹣2），解得m=6．（2）x=2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（2+2）+2m=3×（2﹣2），解得m=﹣4．（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2），化简得：（m﹣1）x=﹣10．当m=1时，整式方程无解．综上所述，当m=﹣4或m=6或m=1时，原方程无解．点评：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．6．分式方程中的一个分子被污染成了●，已知这个方程无解，那么被污染的分子●应该是﹣3．考点：分式方程的解．菁优网版权所有分析：如果设被污染的分子●是m，那么根据分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x的值使最简公分母为0，据此可求出m的值．解答：解：设被污染的分子●是m．解方程，方程两边同乘x﹣1，得x+2=﹣m，∴x=﹣2﹣m．由于此整式方程一定有解，则此解使最简公分母为0．当x﹣1=0时，x=1，∴﹣2﹣m=1时，m=﹣3．故若分式方程无解，那么被污染的分子●应该是﹣3．点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要理解和识记的内容．分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．本题将分式方程化成整式方程以后，发现是一元一次方程，一定有解，则只能是整式方程的根使最简公分母为0．二．解答题（共10小题）7．（2014•大庆）已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．考点：分式的混合运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：已知等式两边除以a变形后求出a+的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2+1=3a，即a+=3，∴两边平方得：（a+）2=a2++2=9，则a2+=7．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2014•黄石）先化简，再求值：（1﹣）÷（x﹣），其中x=+3．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当x=+3时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2014•雅安）（1）|﹣|+（﹣1）2014﹣2cos45°+．（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=+1，y=﹣1．考点：分式的化简求值；实数的运算；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）原式=+1﹣2×+4=5；（2）原式=÷=•=，当x=+1，y=﹣1时，xy=1，x+y=2，则原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2014•南宁）解方程：﹣=1．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣2=x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2=x2﹣4，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．（2014•扬州）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．①求a，b的值；②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？考点：分式的混合运算；解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有专题：新定义．分析：（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．解答：解：（1）①根据题意得：T（1，﹣1）==﹣2，即a﹣b=﹣2；T=（4，2）==1，即2a+b=5，解得：a=1，b=3；②根据题意得：，由①得：m≥﹣；由②得：m＜，∴不等式组的解集为﹣≤m＜，∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，∴2＜≤3，解得：﹣2≤p＜﹣；（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，整理得：（x2﹣y2）（2b﹣a）=0，∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，∴2b﹣a=0，即a=2b．点评：此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．12．（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个