初一竞赛讲座13(角的认识)

初一数学竞赛系列讲座(13)角的认识一、一、知识要点具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。二、二、例题精讲例1．例1．如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分AOD，OE在BOC内，BOE＝21EOC，DOE＝70°，求EOC的度数。分析：易得EOC＝32BOC，而BOC+AOB＝180°，结合OD平分AOB，可作BOC平分线，结合DOE可求出BOC，从而求EOC的度数解：作BOC平分线OF，则BOF＝COF＝21BOC∵OD平分AOB∴AOD＝DOB＝21AOB又∵BOC+AOB＝180°∴DOB+BOF＝90°即DOF＝90°∴EOF＝DOF-DOE＝20°又∵EOF＝BOF-BOE而BOF＝21BOC，BOE＝31BOC∴EOF＝21BOC-31BOC＝61BOC∴BOC＝6EOF＝120°∴EOC＝32BOC＝32×120°＝80°即EOC＝80°例2．例2．一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（）A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定分析：设该锐角为，它的余角（90°-）的补角应为180°-（90°-）＝90°+，与的差（90°+）-＝90°故选BACOBDEFA1oA2A10例3．例3．已知的余角是的补角的51，＞110°，求的范围。分析：显然是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出与的关系，再由的范围，可求出的范围。解：的余角为90°-，的补角为180°-由题意，得90°-＝51（180°-）∴＝5-270°∵＞110°∴5-270°＞110°∴＞76°又由条件知为锐角∴＜90°故的范围是76°＜＜90°评注：本例把转化到进而求出的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略＜90°这一条件。例4．例4．当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116°评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)=300°-85°=215°＞180°则时针与分针的夹角为360°-215°＝145°（2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。例5．例5．如图射线OA表示北偏东60°，射线OB表示东南方向，∠BOC是∠AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。解：∠AOB=30°+45°=75°∠AOB的余角∠BOC=90°-75°=15°∴OC表示南偏东30°，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30°评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在∠AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。例6．例6．如图，OA1，OA2，…，OA10是以O为端点的十条射线，∠A1OA10＜90°，则图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？解法一：以O为端点，以十条射线OA1，OA2，…，OA10的任意两条为边组成的角，取决于从十条射线OA1，OA2，…，OA10中选出两条配成的对数。共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对，西东北南OABCD所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA2，…，OA10于A1，A2，…，A10，则每一个角对应于A1A10上的某一条线段。反过来，A1A10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A4OA6，它对应线段A4A6，而线段A4A6恰好对应线段于∠A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数A1A10上的线段数即可，而A1A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条因此，图中共有45个角例7．例7．求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD相交于O，则AOC与BOD成对顶角。设OE、OF分别为AOC、BOD的平分线，∵AOE=21AOCBOF=21BOD且AOC=BOD∴AOE=BOF又∵BOF+FOD+DOA=180°∴AOE+FOD+DOA=180°即EOF=180°∴OE、OF在同一直线上。评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题例8．例8．已知：直角AOB，以点O为端点在AOB的内部画出1995条射线，以OA、OB及这些射线为边的锐角的个数是多少？解：设以O为端点在AOB的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995则以OA为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995）以OP1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP2，OP3，…，OP1995，OB）以OP2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP3，OP4，…，OP1995，OB）……以OP1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB）∴共有1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个）三、三、巩固练习选择题1、两个角,a的补角互余，则这两个角的和a的大小是A.180°B.135°C.270°D.90°2、如图，OM是AOB的平分线，射线OC在BOM内部，ON是BOC的平分线，已知AOC＝80°，则MON为（）ABOMCN第2题OA10A4A1A6ABCDEFOA．30°B．40°C．45°D．50°3、已知一个直角∠,AOB以O为端点在∠,AOB的内部画10条射线，以OBOA,以及这些射线为边构成的锐角的个数是（）个。（A）110（B）132（C）66（D）654、O是直线AB上的一点，AOD＝120°，COAB于O，OE是BOD的平分线，则图中彼此互补的角共有（）A．4对B．5对C．6对D．7对5、一张长方形的纸,ABCD如图将C角折起到E处，作∠EFB的平分线HF，则∠HFG的大小是（）（A）锐角（B）直角（C）钝角（D）无法确定6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（）A．110°B．130°C．120°D．150°第5题填空题7．已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于＿＿度。8．如图，AOE是一条直线，COEAOC，OB、OD分别是COEAOC、角平分线则图中的钝角共有＿＿个。9．不相等的两角a和的两边分别平行，其中a角比角的3倍少200，则a的大小是＿＿＿。第8题10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30°，那么，从灯塔看，船的方向在。11、O为平面上一点，过O在这个平面上引2001条不同的直线l1，l2，l3，…，12001，则可形成对以O为顶点的对顶角。12、图中三角形的个数是。解答题13、一个角的余角的2倍和它的补角的21互为补角，求这个角的度数。(第12题)14、如图所示的五角星形中共可数出多少个三角形。15、ABC是锐角三角形，D、E、F分别为BC、AC、AB上的点，连DE、EF、DF，图中大于0°小于180°的角有多少个？BOCDE第4题ABCDEF第17题ABCDEFABCDEF第16题第15题16、如图，求A+B+C+D+E+F的值。17、如图，BE、DE是ABC、ADC的角平分线求证：E=21(A+C)18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110°，近7点钟返回时，发现时针与分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多少时间？19、证明：一个锐角一半的余角的2倍，减去这个锐角2倍角的补角，仍等于原角。20、已知AOB是120°，以O为端点在OA与OB之间作射线使它们与OA、OB之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？