初中数学动态探究题

动态探究题这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。主要是考查学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭示“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能在从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，通过归纳得出规律和结论，并加以论证。中考题中的动态型试题是考查学生创新意识的重要题型之一。【典型例题】（一）动点型动态探究题例1.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。（3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。（4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。分析：（1）较简单，利用待定系数法可解决。（2）要想△AOD与△OAC全等，且点D也在抛物线上，则易知点D与点C应恰好关于抛物线对称轴对称，从而写出点D的坐标。（3）应注意点Q在线段OC上和线段CB上两种情形，再根据坐标与线段特征关系，可确定点Q的坐标。（4）要想准确探求是否存在直线PQ将梯形OABC周长和面积等分，可先从等分周长入手，找出与之相关的时间t（秒）的关系式，再分别计算相应两部分的面积，可获得正确结论。解：（1）∵O、C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6）∴设OC的解析式为y＝kx6834kk，直线的解析式为OCyx34∵抛物线过O（0，0），A（18，0），C（8，6）三点∴设抛物线解析式为y＝a（x－0）（x－18）再将C（8，6）代入6＝a（8－0）（8－18）a340yxx34027202（2）要使△AOD≌△AOC，且点D在抛物线上则点D与点C关于抛物线对称轴对称由（1）易知抛物线的对称轴为x＝9由点C（8，6）知点D坐标为（10，6）（）当在上运动时，设，3QOCQmm()34依题意有：mmt222342()()mt85Qttt()()856505，CQBQOPA当Q在CB上时，点Q所走过的路程为2t∵OC＝10∴CQ＝2t－10∴点Q的横坐标为2t－10＋8＝2t－2∴Q（2t－2，6）（5t≤10）（4）由条件知：梯形OABC的周长为44当Q点在OC上时，P点运动的路程为t，则Q点运动的路程为（22－t）△中，边上的高为：OPQOP()2235tSttOPQ122235()SOABC梯形121810684()依题意有：1222358412tt()整理得：t2－22t＋140＝022414002∴这样的t不存在当Q在BC上，Q走过的路程为（22－t）CQtt221012SttOCQP梯形1262210368412()∴这样的t值也不存在∴不存在t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积。例2.如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB//CD，ABCD，AB＝10，BC＝3（1）如果M为AB上一点，且满足∠DMC＝∠A，求AM的长。（2）如果点M在AB上移动，（点M与A、B不重合）且满足∠DMN＝∠A，MN交BC延长线于N，设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（写取值范围不需推理）分析：略解：（1）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CDAMB231DC∴∠A＝∠B∵∠1＋∠2＋∠A＝180°∠3＋∠2＋∠DMC＝180°又∠DMC＝∠A∴∠1＝∠3，∠B＝∠A∴△ADM∽△BMCAMBCADBM设，则AMxxx3310即xx21090∴x1＝1，x2＝9经检验：x1＝1，x2＝9都为原方程的根∴AM＝1或9（2）如图AMBOCN同理可证：△ADM∽△BMN则，即AMBNADMBxyx3310yxxx131033192()例3.已知，如图①，E、F、G、H按照AE＝CG，BF＝DH，BF＝nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长为a，na的矩形ABCD各边上运动，设AE＝x，四边形EFGH的面积为SAHDEGBFC①（1）当n＝1，2时，如图②，如图③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使？矩形SSABCD12AHDAHDEGEGBFCBFC②③（2）当n＝3时，如图④，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）探索S随x增大而变化的规律，猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使SSABCD12矩形？AHDEGBFC④（3）当n＝k（k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？分析：这是一道探索性开放题，图形是不断地变化，解题关键是从特殊情形入手，总结出其中所蕴涵的规律性特征，找出S与x之间的函数关系式，判断出S与x之间变化的规律，从而对n＝k（k≥1）的一般情形作出猜想。解：（1）当n＝1时，如图②，有AE＝BF＝CG＝DH此时要使矩形SSABCD12则E、F、G、H四点应恰好为各对应边的中点当n＝2时，如图③，AE＝CG，DH＝BF＝2AE矩形ABCD中，有BC＝2AB要使矩形SSABCD12仍必须有E、F、G、H为矩形ABCD各边中点（2）当n＝3时，如图④AE＝CG，BF＝DH＝3AE设AE＝x，则BF＝DH＝3x∴BE＝a－x＝DGAH＝CF＝3a－3xSaaxaxaxxaaxx333336622()()即Sxaxaxa663022()配方得：Sxaa623222()∵a＝60，∴开口向上当时，随增大而减小02xaSxxaSx2时，随增大而增大要使Sxaaaa623212322()xa2即点E为AB中点从而点F、G、H也应分别是BC、CD、DA的中点即当E、F、G、H运动至矩形ABCD各边中点，有SSABCD12矩形（3）当n＝k（k≥1）时，上述规律和猜想是成立的理由：设AE＝CG＝x，则BF＝DH＝kxBEDGaxCFAHkakxkax，()Sakaxkaxaxkxkxkaxkaxa()()()22022配方得Skxaka22222()当时，随增大而减小xaSx2当时，随增大而增大xaSx2且当时，矩形xaSkaakaSABCD2212122即、、、仍为各边中点时矩形EFGHSSABCD12（二）线动型动态探究题例4.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4cm，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD于点E（1）当点P运动2S时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积。（2）当点P运动2S时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动，过Q作直线QN，使QN//PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2，求S关于t的函数关系式。DCMEAPB分析：（1）较简单（2）难点在于不能准确把握运动过程中P、Q两点的可能位置，由于P、Q两点运动速度不同，因此P、Q不一定都在AB上，当0≤x≤6时，点P、Q都在AB上，相应PM与QN的位置较易探寻。当6≤x≤8时，点P在BC上，而点Q在AB上，围成四边形面积可表示当8≤x≤10时，点P、Q都在BC上运动，相应的垂直围成的四边形形状又发生变化，因此本题关键在于分类讨论。解：（1）当点P运动2S时，AP＝2cm，由∠A＝60°AEPE13，SAPE32（2）∵点P速度为1cm/s，点Q在AB上的速度为1cm/s又AD＝4，∠A＝60°∴AB＝8cm∴点P在AB上运动8秒钟，而点Q晚2秒钟开始运动∴点Q在AB上运动8秒钟1当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动设PM与AD交于点E，QN与AD交于点F，如图②DCMENFAQPB②则，，AQtAFtQFt232APtAEt212，PEt332∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为：SFQPEEFt232322当6≤t≤8时，点P在BC运动，点Q仍在AB上运动，如图③DMCNEFPAQB③设PM与DC交于点E，QN与AD交于点F则，，AQtAFtQFt1232DFt42BPtCPtPEt610103，，()而BD43SSSSABCDAQFCPE平行四边形1631212321210103tttt()()53810334322tt3当8≤t≤10，点P和点Q都在BC上运动，如图④DNMCFEPQAB④则，CQtQFt2022023()CPtPEt10103，()∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为：SEPFQPQ()2[()()]()1032023220210tttt33210332303150322()ttt例5.如图在平面直角坐标系内，点A和C的坐标分别为（4，8）（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx＋b平行于AC，与AB相交于点E，连结CD，过点E作EF//CD交AC于点F（1）求经过A、C两点的直线解析式。（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由。（3）如果将直线AC作上、下平移，交y轴于点C’，交AB于点A’，连结OC’，过点E作EF’//DC’，交A’C’于点F’，那么能否使四边形C’DEF’成为正方形？若能请求出此时正方形的面积，若不能，说明理由。yAFCEODBx分析：本题难点在于在运动状态下探讨图形是矩形和正方形的可能性问题，可先假设结论成立，利用条件和相关知识探求需要的条件，从而作出恰当判别。解：（1）设直线AC的解析式为y＝mx＋n，由条件得：485mnn解得mn345直线的解析式为：ACyx345（2）假设能，则∠CDE＝90°设OD＝xDEACk//，34BDxBEx4344，()CDECODDBE90∴∠CDO＝∠DEB∴△COD∽△DBEODBEOCDBxxx，即34454()解得：，xx124154经检验：xx1544是方程的根，且∴点D在OB上存在符合条件的，D()1540（3）①直线A’C’在直线DE的下方，这时A’落在EB上yAFCA’F’C’EODBx∴EF’A’E≤BEED∴这时不存在正方形C’DEF’②直线A’C’在直线DE的上方，这时必有C’D＝DE∠C’DE＝90°则Rt△C’OD≌Rt△DBE∴OD＝BE设OD＝x，则BE＝x，BD＝4－x由（2）知：BDBExx43443，解得x127经检验：x127是方程的根且符合题意∴存在符合条件的点D，此时BEBD127167，∴正方形C’DEF’的面积：SDEBEBD2222212716740049()()（三）圆动型动态探究题例6.已知，如图，直线的解析式为，并且与轴，轴分别相交于点lyxxy343A、B（1）求A、B两点的坐标。（2）一个圆心在坐标原点，半径为1的圆以0.4个单位/秒的速度向x