初中数学常用的思维方法

-1-初中数学实用的思维方法乡宁二中成呈祥思维方法简单的说就是通过考虑寻求解决问题的途径。也就是在现有的表面现象和已掌握的概念基础上，通过分析、判断、推理、综合等认识过程寻找出达到某种目的的门路、措施、程序等。在初中数学实用的思维方法很多，先就举例探讨以下几种。一、例举法。根据已知条件所涉及的数量和结论的各种情况一个一个全部无遗漏地例举出来，从中获得符合题意的答案的方法。例1.小明与小亮玩游戏，他们将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌兖分洗匀后，背面朝上放在桌面上．规定游戏规则如下：先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数．则小明胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数．则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗?请用画数状图或列表的方法说明理由．解：这个游戏规则对双方不公平。理由如下。根据题意．画树状图为：(左图)由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，分刎是：22，23，24，32．33，34，42，43，44，而且每-2-种结果出现的可能性都相同，而其中组成的两位数是2的倍数的结果共有6种，是3的倍数的结果共有3种．∴P(小明胜)=6293，∴P(小亮胜)=3193∴P(小明胜)P(小亮胜)，∴这个游戏规则对双方不公平．二、实证法。通过简单的实践加以证明。例2.将一个矩形纸片依次按图(1)、图(2)的方式对折，然后沿图(3)中的虚线裁剪，最后将图(4)的纸再展开铺平，所得到的图案是（A）.解析：根据题目中的要求用一张矩形纸按照要求的步骤折叠并裁剪，张开后给以对比就可得到正确的选项A.三、归纳法。例3.观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，……通过观察，你所发现的规律确定32000的个位数子是.解析：观察算式可发现每4个数字的个位数子循环一次，因为2000÷4=500，所以32000的个位数子是1.例4.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，-3-根据此规律，m的值是.解析：规律1：和m对应的位置除外，其它相应位置的数都是偶数，且后面的数比对应的前面的数大2.如0，2，4，6；则其它位置的数是4，6，8，10；2，4，6，8.如图：规律2：一条对角线的数字之和等于另一条对角线位置的数字之积。如：4+44=6×8，则6+m=8×10,所以m=74.四、观察法。仔细认真地察看题目表面显现，寻找其特征、规律。例4.随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是31.。解析：根据题中图形观察可知：横四个竖三个小正方形，总共有12个小正方形其中有四个黑色的，八个白色的。只要观察到这些信息，此题就迎刃而解了。例5.如图，直线y=kxb交坐标轴于A(3，0)、B(0，5)两点，则不等式kxb0的解集为(A)x3(B)x3(C)x3(D)x3。解析：将kxb0根据不等式性质3变形为：kx+b＞0后，观察图象可得点A右边符合题意，即：x3，所-4-以选A.五、概念法。概念就是人们在实践和认识过程中，把所感到的事物的共同点抽象出来，加以概括得出来的事物的实质。这种方法就是用定义、公理、定理、法则、公式等去确定题目的结果。例6.点(一2．1)所在的象限是(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限.解析：在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个象限，各象限的点与它对应的有序实数对的符号的特征是，第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。题目中的点的符号与第二象限对应，所以选B.例7.比较大小：2＞3（填“＞”、“=”或“＜“）．解析：有理数的大小比较法则是两个负数绝对值大的反而小。︱-2︱=2，︱-3︱=3，2＜3，∴-2＞-3，故填“＞”.另外用数轴也可以比较，其法则是，在数轴上表示的两个数，左边数总比右边的数小.画出草图后，-3在-2是左边，用法则判断得：-3＜-2，即-2＞-3.六、筛选法。就是运用已知条件进行层层挑选和淘汰，最后剩余符合条件的结果。对于选择题更为适用。例8.3的绝对值是B.(A)3(B)3(C)31(D)31。-5-解析：根据绝对值的运算法则得,负数的绝对值是正数，就可以筛去A、C，而在B、D中D是︱-3︱的倒数，∴又筛去D;最后只剩A，故选A.七、逆向法。简单的说就是从相反的方向考虑解决问题。即又果寻因，由未知一步步推理到已知。反过来就是证明过程。这种方法在证明题中常常用到。例9.如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．解析：（1）要证明（未知）CE=CF→∠CFE=∠CEF,而∠CEF=∠AED从而推出∠CFE=∠AED→,90,9000DAFAEDCAFCFE∠CAF=∠DAF→AF平分∠CAB(已知)（1）.证明：∵AF平分∠CAB∠CAF=DAF,90,9000DAFAEDCAFCFE∠CFE=∠AED;-6-而∠CEF=∠AED∴∠CFE=∠CEFCE=CF.解析：（2）猜想：CE=CF.要证明有（1）知CE=CF，要证明BE，=CF,就是证明BE，=CE,→△CEA≌△BE,A,→AE=A,E,,∠CAE=∠BAE,∠ACE=∠A,BE,；而AF平分∠CAB(已知)，∠ACE=900-∠CAD,∠A,BE,900-∠CAD,→∠ACB=-90°，CD⊥AB（已知）.（2）解：BE'=CF.理由如下：如图，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD,．由平移的性质可知：A’E’=AE，∴∠E’A’B=∠EAD．∵∠ACB=90°．∴∠B+∠CAB=90°,来源:Z|xx|k.Com]∵CD⊥AB于D．∴∠ACD+∠CAD=90°．∴∠ACD=∠B在Rt△ACE与Rt△A’BE’中，∵∠ACE=∠B，∠CAE=∠BE’A’E’，AE=A’E’∴△ACE≌△A’BE’,∴CE=BE’由（1）可知CE=CF.八、发散法.由某一处向四周散开就是发散，在初中数学中就是指一题多解，从多条思路多种途径完成同一目标达到同一目的。例10.已知二次函数y=x22x3的图象与x轴交于A、B.两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D。(1)求点A、B、C、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；(2)说出抛物线y=x22x3可由抛物线y=x2如何平移得到？(3)求四边形OCDB的面积。解：(1)当y=0时，x22x3=0，解得-7-x1=1，x2=3。∵A在B的左侧，∴点A、B的坐标分别为(1，0)，(3，0)，当x=0时，y=3，∴点C的坐标为(0，3)，又∵y=x22x3=(x1)24，∴点D的坐标为(1，4)。(2)拋物线y=x2向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到拋物线y=x22x3；(3)解法一：连接OD，作DEy轴于点E，作DFx轴于点F；S四边形OCDB=S△OCDS△ODB=21OCDE21OBDF=21312134=215.解法二：作DEy轴于点E；S四边形OCDB=S梯形OEDBS△CED=21(DEOB)OE21CEDE=21(13)42111=215.解法三：作DFx轴于点F；S四边形OCDB=S梯形OCDFS△FDB=21(OCDF)OF21FBFD=21(34)12124=215.九、类比法.根据两种或两类对象在某些方面的相似，得出它们在其他方面也有可能相似的结论。它是一种创造性的数学思想方法。类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视运用.如：若线段AB上有一个点，则共有2+1=3条线段，若线段AB上有两个点，则共有3+2+1=6条线段，若线段AB上有三个点，则共有4+3+2+1=10条线段，……若线段AB上有n个点，则有(n+1)+n+(n-1)+…+1=(n+2)(n+1)／2条线段；类似的若在∠AOB从顶点O引一条射线，则有2+1=3个角，若引两条射线，则有3+2+1=6个角，若引三条射线，则有4+3+2+1=10个角，……若引n条射线，则有(n+1)+n+(n-1)+…+1=(n+2)(n+1)／2个角。例11.已知s2+2s-1=0,t2+2t-1=0(s≠t),求st+2s+2t的值。思路分析：观察已知条件和所求代数式的外形，可联想到一元二次方程的根与系数的关系。类比题设构造一个以s和t为根的一元二次方程x2+2x-1=0,然后根据一元二次方程的根与系数的关系知s+t=-2,st=-1，从而很容易求出所求代数式的值：st+2s+2t=st+2(s+t)=-1+2×(-2)=-5十、列表法。就是运用表格的形式理清数量关系，联系所学-8-知识，找出解题途径，列出代数方程或代数式，从而得出结果。例12.某汽车租赁公司共有30辆汽车要出租.市场调查发现，若每辆车每日出租价格为110元时，全部汽车能够出租完；若每辆车每日出租价格每提高10元时，出租量将减少一辆.对所有租出去的汽车，租赁公司每日每辆需支付20元各种费用；对没有租出去的汽车，租赁公司每日每辆需支付10元各种费用.设每辆汽车每日的租金为x元（x≥110）.请解答下列问题：（1）求该租赁公司出租这批汽车每日得到的出租总金额y（元）关于x（元）的函数关系式；（2）设租赁公司出租出租这批汽车每日的利润为w（元），试求：当每辆汽车每日租金多少元时，w有最大值？最大值是多少？解析：根据题意，列表如下：租出车数（辆）每辆车每日租金（元）未租出车数（辆）出租总金额y（元）租出车数费用（元）未租出车费用（元）利润w(元)301100110×3020×3010×0291201120×2920×2910×1281302130×2820×2810×2271403140×2720×3010×3………………………………30-10110xx10110xX×10110x20×30-10110x10×10110x由表中数据可得：y=x×（30-10110x）=-102x+41x.W=y-(租出车辆费用)-（未租出车辆费用）=-102x+41x-(20×30-10110x)-（10×10110x）=-102x+42x-710.解：（1）设每辆汽车每日的租金为x元（x≥110）.该租赁公司出租这批汽车每日得到的出租总金额y=x×（30-10110x）=-102x+41x.（110≤x≤410）（2）租赁公司出租出租这批汽车每日的利润为：W=-102x+42x-710.当x=210（元）时，w最大值=3700（元）.除以上例举的思维方法以外，还有立体法、递推法、演绎法、例证法、试探法、双向法等。思维不是天生的，思维能力是可以培养和训练的，只要经过长期的耐心的培养和训练，每一个人的大脑都是好脑子。