初中数学常见的概念定理公式汇编

第1页共14页第一部分数与代数一、数与式（一）实数1、实数的分类：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数。有理数如：－8，0.3345，0.7373737……等；无限不环循小数叫做无理数。无理数如：π，2，0.1010010001，……(两个1之间依次多1个0)等。有理数和无理数统称为实数。2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。3、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作a。公式：a＝aa＞00a＝0－aa＜0如：－π＝π；3.14－π＝－（3.14－π）＝π－3.14；π－3.14＝π－3.144、相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。a的相反数是－a。若a与b互为相反数，则a＋b＝0。5、若两个数的积是1，那么两个数是互为倒数。若a与b互为倒数，则ab＝1。a的倒数是1a（a≠0）。6、有效数字：一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字。如：0.02006精确到0.0001得0.0201，结果有两个有效数字2，0，1；200的有效数字是2，0，0三个。7、科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法。如：407000＝4.07×105，0.000043＝4.3×10－5。8、大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数的绝对值大的反而小。9、数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。如：23＝8，2为底数，3为指数，8为幂。10、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。注：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。11、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。如：4=212、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。如：若x2＝4，则x＝±2。13、立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。14、开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方。15、二次根式：形如a(a≥0)的代数式叫做二次根式。a(a≥0)是一个非负数。①积与商的方根的运算性质：ab=a·b（a≥0，b≥0）；ab＝ab（a≥0，b＞0）②二次根式的性质：a2＝a＝aa≥0－aa＜016、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式。第2页共14页17、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。18、二次根式的乘除法运算法则：a·b＝ab（a≥0，b≥0）；ab＝ab（a≥0，b＞0）19、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时和为0；③绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；④一个数同0相加，仍得这个数。20、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。21、有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。22、有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数。23、有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。24、有理数的运算律：加法交换律a＋b＝b＋a；加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；乘法交换律ab＝ba；乘法结合律(ab)c＝a(bc)；乘法分配律m(a＋b)＝ma＋mb。（二）代数式1、用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。代数式包括单项式和多项式。2、数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。任何一个非零数的零次方等于1。3、有限个单项式之和称为多元多项式，简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。不含字母的项叫做常数项。如一式中：最高项的次数为5，此式有3个单项式组成，则称其为：五次三项式。4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。5、合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项6、合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变．（三）整式1、常见幂的运算：①同底数幂相乘am·an＝am＋n（m、n为正整数）；②同底数幂相除am÷an＝am-n（a≠0，m、n为正整数，m＞n）；③积的乘方(ab)m=ambm，（m为正整数）④幂的乘方(ab)n＝anbn（n为正整数）；⑤负整数指数a－p＝1ap（a≠0，p为正整数）规定：零指数：a0＝1（a≠0）；2、整式的乘除法①几个单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除。②单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项。③多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项。④多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式。3、常见的乘法公式：第3页共14页平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b24、分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。5、常用的分解因式方法⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。⑵运用公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)26、分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，然后再考虑是否能用公式法分解，最后是用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。简称：一“提”二“套”三“查”。例如：2x3－6x＝2x(x2－3)＝2x(x＋3)(x－3)（四）分式1、定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。注：（1）若B≠0，则有意义；（2）若B＝0，则无意义；（3）分式值为0的条件：若A＝0且B≠0，则AB＝0。2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。即ab＝a×mb×m；ab＝a÷mb÷m（其中m是不等于零的代数式）。3、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。分式的约分步骤：(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。4、通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。5、分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减ac±bc＝a±bc；（2）异分母的分式相加减，先通分化为同分母的分式，后按同分母分式的加减法则计算ac±db＝ab±cdbc。6、分式的乘除法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母ab·cd＝acbd；（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘ab÷cd＝ab·dc＝adbc(c≠0)．（3）分式的乘方法则：(ab)n＝anbn（n为正整数）7、分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。注：对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，后求值。二、方程与不等式（一）一元一次方程1、方程：含有未知数的等式叫方程。2、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。一般形式：ax＋b＝0（a≠0）3、解一元一次方程的一般步骤、根据及注意事项一般步骤依据注意事项第4页共14页去分母根据等式性质2不要漏乘，当分子是多项式时，去分母后要补上括号去括号根据分配律或去括号法则注意项的符号的变化移项根据等式性质1注意项的符号的变化！合并同类项合并同类项法则系数化为1根据等式性质2（二）二元一次方程（组）1、二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。3、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。4、二元一次方程组的解法。（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法。（2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。（三）分式方程1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、解分式方程的步骤：①去分母，化为整式方程；②解整式方程；③验根；④下结论。3、分式方程的增根问题：⑴增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；⑵验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。（四）一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0）。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法：（2）配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x＋m)2＝n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解。（3）公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0）中，当b2－4ac≥0时，x＝－b±b2－4ac2a；当b2－4ac＜0时，无解。（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0。因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。3、注意事项⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a＝0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2＋2kx＋1＝0中，当k＝±1时就是一元一次方程了。⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代入求根公式，求出x1、x2；若b2－4ac＜0，则方程无解。⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如－2(x＋4)2＝3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺第5页共14页序是：开平方法→因式分解