初中数学拔尖材料05整除的基本知识

初中数学拔尖材料05整除的基本知识数的整除性问题在中学数学中一直占重要的地位，任何重要的考试都离不开这类问题．本讲主要介绍常用的整除的基本性质及其解题方法．一、整除的基本性质定义：若整数a能被整数(0)bb除尽（或者说a是b的倍数），则称a被b整除．a被b整除也称作b能整除a，用符号|ba表示；而b不能整除a，则用baŒ表示．有关整除的基本性质如下：（其中的字母均代表整数）⑴若|ba，|cb，则|ca．⑵若|ca，|cb，则|()cab．⑶若|ca，cbŒ，则()cabŒ．⑷若|ba，则|bac．⑸若|ba，0c，则|bcac．⑹若|ba，|cd，则|bcad．⑺若abc，且|ma，|mb，则|mc．⑻若|ba，|ca，则[,]|bca．⑼若|ba，|ca，且(,)1bc，则|bca．⑽若|cab且(,)1ac，则|cb．特别地，若质数|pab，则必有|pa或|pb．（注：质数又名素数）．⑾若ab，n为正整数，则()|()nnabab．⑿若ab，n为正偶数，则()|()nnabab．⒀若ab，n为正奇数，则()|()nnabab．⒁n个连续正整数之积必能被123n所整除．（注：这些性质，必须熟记．）典型例题例1．求证：三个连续正整数的积必能被6整除．例2．（1）设xy、均为整数，若5|9xy，求证：5|87xy．（2）设xyz、、均为整数，若11|725xyz，求证：11|3712xyz．例3．已知8216178能被57整除，求证：8316378也能被57整除．例4．设n是正整数，试证：22120|(1)(526)nnnn．例5．已知3|4xy（xy、均为整数），求证：229|472xxyy．例6．对任意正整数n，求证：2131352nn能被17整除．例7．试证明：若两个整数mn、使22mmnn被9整除，则m和n都能被3整除．例8．求证：993991993991能被1984整除．二、整数的整除性特征⑴能被2整除的数的特征：个位数字是偶数．⑵能被5整除的数的特征：个位数字是0或5．⑶能被4整除的数的特征：末两位数能被4整除．能被25整除的数的特征：末两位数能被25整除．⑷能被8整除的数的特征：末三位数能被8整除．能被125整除的数的特征：末三位数能被125整除．⑸能被3整除的数的特征：各位数字之和能被3整除．能被9整除的数的特征：各位数字之和能被9整除．⑹能被11整除的数的特征：奇数位数字的和与偶数位数字的和之差能被11整除．⑺能同时被7、11、13整除的数的特征：奇位千进位的总和与偶位千进的总和之差能同时被7、11、13整除．例如：38333295能否同时被7、11、13整除？先分节，38，333，295，因为奇位千进位的数之和为38+295＝333，偶位千进位数为333，所以（38+295）－333＝0，而0能同时被7、11、13整除，故38333295能被7、11、13同时整除，即能被7·11·13＝1001整除．典型例题例9．九位数32*35717*能被72整除，其中每一个星号“*”表示一个数码，求这个九位数．例10．求：在十进制中，各位数码是0或1，并且能被225整除的最小的正整数．例11．能被33整除的六位数1987xy的个数是多少？例12．把1开始的自然数依次写下去，直写到第198位止，如198123456789101112位，求这个数被9除的余数．例13．求证：由数字0、1、2、3、4、5所组成的不重复六位数不可能被11整除．例14．绕着圆周写了2013个数字（都是0～9的自然数），已知从某一位置开始按顺时针方向读出这些数字，得到的2013位数能被27整除；求证：从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得的2013位数，都能被27整除．a2013a2012a3a4a2a1例15．有一个2014位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，问是多少？综合练习1．p是任意三个相邻偶数之积，则能整除所有这样的p的最大整数是_____________．2．设正整数n的各位数码之和为87721，则n的最小值为_______________．3．由1，2，3，…，9这9个数字组成的九位数中，能被11整除的最大数是________________．4．已知695155xy是99的倍数，则x________，y_________．5．四位数2(51)abcdc，此四位数是_________．6．乘积50!1234950，末尾0的个数是_________．7．把1059、1417和2312每个数除以(1)dd所得余数相同，则d___________．8．设n是正整数，求证：22173|89nn．9．一个六位数N，它的前三位组成的数与后三位组成的数之和为481，求证37|N．10．圆周上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数并且能被27整除，求证：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除．