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教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录()教师之家-免费中小学教学资源下载网()初中数学竞赛专题选讲(初三.7)待定系数法一、内容提要1.多项式恒等的定义:设f(x)和g(x)是含相同变量x的两个多项式,f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内,不论用什么实数值代入左右的两边,等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”,也可以用等号表示恒等式.例如:(x+3)2=x2+6x+9,5x2-6x+1=(5x-1)(x-1),x3-39x-70=(x+2)(x+5)(x-7).都是恒等式.根据恒等式定义,可求恒等式中的待定系数的值.例如:已知:恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x-2).求:①a+b+c;②a-b+c.解:①以x=1,代入等式的左右两边,得a+b+c=-4.②以x=-1,代入等式的左右两边,得a-b+c=0.2.恒等式的性质:如果两个多项式恒等,则左右两边同类项的系数相等.即如果a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=b0xn+b1xn-1+……+bn-1x+bn那么a0=b0,a1=b1,……,an-1=bn-1,an=bn.上例中又解:∵ax2+bx+c=2x2-2x-4.∴a=2,b=-2,c=-4.∴a+b+c=-4,a-b+c=0.3.待定系数法:就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式,然后根据恒等式定义和性质,确定待定系数的值.二、例题例1.已知:23)2)(3(22xCxBxAxxxxx求:A,B,C的值.解:去分母,得x2-x+2=A(x-3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-3).根据恒等式定义(选择x的适当值,可直接求出A,B,C的值),当x=0时,2=-6A.∴A=-31.当x=3时,8=15B.∴B=158.当x=-2时,8=10C.∴C=54.本题也可以把等号右边的代数式,整理成为关于x的二次三项式,然后用恒等式性质:“左右两边同类项的系数相等”,列出方程组来解.(见下例).例2.把多项式x3-x2+2x+2表示为关于x-1的降幂排列形式.解:用待定系数法:设x3-x2+2x+2=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录()教师之家-免费中小学教学资源下载网()把右边展开,合并同类项(把同类项对齐),得x3-x2+2x+2=ax3-3ax2+3ax-a+bx2-2bx+b+cx-c+d用恒等式的性质,比较同类项系数,得2223131dcbacbabaa解这个方程组,得4321dcba∴x3-x2+2x+2=(x-1)3+2(x-1)2+3(x-1)+4.本题也可用换元法:设x-1=y,那么x=y+1.把左边关于x的多项式化为关于y的多项式,最后再把y换成x-1.例3.已知:4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求:a和b的值.解:设4x4+ax3+13x2+bx+1=(2x2+mx±1)2(设待定的系数,要尽可能少.)右边展开,合并同类项,得4x4+ax3+13x2+bx+1=4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.比较左右两边同类项系数,得方程组mbmma213442;或mbmma213442.解得172174172174612612babababa-或或或.例4.推导一元三次方程根与系数的关系.解:设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,x2,x3.原方程化为x3+02adxacxab.∵x1,x2,x3是方程的三个根.∴x3+adxacxab2(x-x1)(x-x2)(x-x3).把右边展开,合并同类项,得x3+adxacxab2=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3.比较左右同类项的系数,得一元三次方程根与系数的关系是:x1+x2+x3=-ab ,x1x2+x1x3+x2x3=ac,x1x2x3=-ad.教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录()教师之家-免费中小学教学资源下载网()例5.已知:x3+px+q能被(x-a)2整除.求证:4p3+27q2=0.证明:设x3+px+q=(x-a)2(x+b).x3+px+q=x3+(b-2a)x2+(a2-2ab)x+a2b.③②①qbapabaab22202由①得b=2a,代入②和③得3223aqap∴4p3+27q2=4(-3a2)3+27(2a3)2=4×(-27a6)+27×(4a6)=0.(证毕).例6.已知:f(x)=x2+bx+c是g(x)=x4+6x2+25的因式,也是q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求:f(1)的值.解:∵g(x),q(x)都能被f(x)整除,它们的和、差、倍也能被f(x)整除.为了消去四次项,设g(x)-q(x)=kf(x),(k为正整数).即14x2-28x+70=k(x2+bx+c)14(x2-2x+5)=k(x2+bx+c)∴k=14,b=-2,c=5.即f(x)=x2-2x+5.∴f(1)=4.例7.用待定系数法,求(x+y)5的展开式解:∵展开式是五次齐次对称式,∴可设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3)(a,b,c是待定系数.)当x=1,y=0时,得a=1;当x=1,y=1时,得2a+2b+2c=32,即a+b+c=16当x=-1,y=2时,得31a-14b+4c=1.得方程组141431161cbacbaa解方程组,得1051cba∴(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录()教师之家-免费中小学教学资源下载网()三、练习511.已知4286322xbxaxxx .求a,b的值.2.已知:2)1(1)2()1(534222xCxBxAxxxx.求:A,B,C的值.3.已知:x4—6x3+13x2-12x+4是完全平方式.求:这个代数式的算术平方根.4.已知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除.求证:ad=bc.5.已知:x3-9x2+25x+13=a(x+1)(x-2)(x-3)=b(x-1)(x-2)(x-3)=c(x-1)(x+1)(x-3)=d(x-1)(x+1)(x-2).求:a+b+c+d的值.6.试用待定系数法,证明一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理).7.用x-2的各次幂表示3x3-10x2+13.8.k取什么值时,kx2-2xy-y2+3x-5y+2能分解为两个一次因式..9.分解因式:①x2+3xy+2y24x+5y+3;②x4+1987x2+1986x+1987.10.求下列展开式:①(x+y)6;②(a+b+c)3.11.多项式x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是()(A)(x+y)(y-z)(x-z).(B)(x+y)(y+z)(x-z).(C)(x-y)(y-z)(x+z).(D)(x-y)(y+z)(x+z).12.已知(a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,若S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3.则S等于()(A)(x-2)4.(B)(x-1)4.(C)x4.(D)(x+1)4.(1988年泉州市初二数学双基赛题)13.已知:4310252323xxxcbxxax的值是恒为常数求:a,b,c的值.教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录()教师之家-免费中小学教学资源下载网()练习题参考答案1.a=-27,b=-2112.A=1,B=2,C=33.±(x2-3x+2)4.由(x2+p)(ax+pd)…5.17.3(x-2)3+8(x-2)2-4(x-2)-38.先整理为关于x的二次三项式,并把常数项分解因式,再用待定系数法。9.①(x+y+1)(x+2y+3)②(x2+x+1)(x2-x+1987)10.①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.11.(A)12.(C)13.a=1,b=1.5,c=-2.[文章来源:教师之家转载请保留出处][相关优质课视频请访问:教学视频网]
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