初中数学经典题集

1.小学生小明问爷爷今年多大年龄，爷爷回答说：“我今年的岁数是你的岁数的7倍多，过几年变成你的6倍，又过几年变成你的5倍，再过若干年变成你的4倍。”你说，小明的爷爷今年是多少岁？2.某部队执行任务,以每小时8千米的速度前进,通信员在队伍中间接到任务后,以每小时12千米的速度把命令传到队头,然后再传到队尾,最后返回他在队中原来的位置,从离开他在队中的位置到返回共用7分12秒,问队伍长多少米?3.如图，Rt△ABC的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。4.有一个三角形满足a平方+b平方+c平方+338=10a+24b+26c，这是什么三角形？5.在平面直角坐标系中有点A(-1,0),点B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴的正半轴于点C.(O为原点)(1)求点C的坐标(2)求过A,B,C三点的解析式(3)在(2)的条件下,若在抛物线上有一点D,使四边形BOCD为直角梯形,求直线BD的解析式(4)设点M是抛物线上任意一点,过点M做MN垂直y轴于点N.若在线段AB上有且只有一点P,使角MPN为直角,求点M坐标.6.边长为2的正方形ABCD内有一点P，求PA+PB+PC的最小值。请写出过程。7.AB，AC分别是圆O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE垂直于AB于点H，交圆O于点E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。问题：当点D在劣弧AC上什么位置时，才能使AD的平方=DE·DF?（要求自己画出图形）8.已知直角三角形两条直角边长的和为根号6，斜边长为2，则这个直角三角形的面积为？9.若满足不等式8/15n/n+k7/13的整数k只有一个，则正整数n的最大值为多少？请写出解答过程10.把一个正方形切成两个长方体后，如果两者表面积之比为1:2,那么两者体积之比是多少?11.证明两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.12.证明：在⊙0中，已知半径为５厘米，弦AB为５倍根号２厘米，弦AC为５厘米，求∠BAC。13.已知三角形一边和它的对角以及另一边的中线，求作三角形。14.AB=ACD和E在CA和AD的延长线上AD=BC=EC=ED求证角A=100度15.如图，在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90度;,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？16.矩形ABCD，AD=2AB=2，E是CD中点，连接BE，BD，AE，AE和BD交于O点，求阴影AOBED的面积。17.如图所示，如果横行上的两个数字之和相等，竖列上的两个数字之和相等，那么A、B、C、D依次可为……（填写一组你认为适合的数字即可，数字不要相等）ABCED1.设小明今年的年龄是x岁，那么爷爷年龄是7x。过n年后，爷爷的年龄是小明的6倍，所以6(x+n)=7x+n,x=5n.所以x除得尽5。过m年后，爷爷年龄是小明年龄的6倍，所以5(x+m)=7x+m。所以x=2m.因此x是偶数。因此x是10的倍数。爷爷的年龄是70的倍数。(140岁，也可能啊：))所以爷爷年龄是70岁设小明的年龄为x岁，爷爷是7x岁。过了a年，小明的年龄为x+a岁，爷爷是7x+a岁。有（x+a）*6=7x+a，化简得x=5a………………………………（1）又过了b年，小明的年龄为x+a+b岁，爷爷是7x+a+b岁。有（x+a+b）*5=7x+a+b，化简得x=2*（a+b）…………………（2）又过了c年，小明的年龄为x+a+b+c岁，爷爷是7x+a+b+c岁。有（x+a+b+c）*4=7x+a+b+c，化简得x=a+b+c…………………（3）由（1）、（2）、（3）式得x=5a，3x=10b，x=2cx，a，b，c都是正整数，x是5、10、2的倍数，b是3的倍数。所以x是10的倍数，最小的数是10。因为小明是小学生，所以只能是10岁，而不能是20岁。所以首先考虑x=10。因此，a=2，b=3，c=5当小明是10岁时，爷爷是70岁——爷爷是小明的岁数的7倍；过了2年，小明是12岁，，爷爷是72岁——爷爷是小明的岁数的6倍；又过了3年，小明是15岁，，爷爷是75岁——爷爷是小明的岁数的5倍；又过了5年，小明是20岁，，爷爷是80岁——爷爷是小明的岁数的4倍；小明的爷爷今年是70岁.2.设队伍长x米,通信员来回地跑,往队头跑时,相对于队伍的速度是12-8=4(千米/小时),而往后跑时,相对于队伍的速度是12+8=20(千米/小时),他总共相对于队伍跑了2倍队伍的路程,一段速度为4000米/小时,一段为20000米/小时,所以x/4000+x/20000=(7×60+12)/3600解得x=400则队伍长400米.设队伍长2x。因为通信员在队伍中间，所以他到队头和队尾的距离均为x。那么，设他传到队头用的时间t1(也就是他追上最前面的那个人所用的时间)，则：12t1=x+8t1即：t1=x/4那么，当他后来从队尾回到原来自己所在位置（队伍中间）的运动过程与上面相同，所用的时间也是t2=t1=x/4当他从队头传到队尾时候，设时间为t3（也就是他与最后面的那个人相遇的时间），则：t3=2x/(8+12)=x/10故，整个过程用的时间t=t1+t2+t3=(x/4)+(x/4)+(x/10)=3x/5所以：3x/5=(7.2/60)解得：x=0.2km=200m所以，整个队伍的长=2x=400m如果以部队为参照物(速度为0)通信员同向(通信员行进与部队前进方向相同)速度为12-8=4km/h反向速度为12+8=20km/h同向所用的时间应该是反向的5倍,等于7分12秒的5/6，即6分钟，所以队伍长度为：4000*（6/60）=400米3．设顶点A、B、C的对边分别为a,b,c，由于ABC为等边三角形，则a^2+b^2=c^2。以c为直径的半圆除三角形之外的部分面积为π（c/2)^2/2-20,所以阴影部分的面积为[π（a/2)^2]/2+[π(b/2)^2]/2-[π(c/2)^2]/2+20=[π(a^2+b^2-c^2)]/8+20=20三角形ABC的面积+以BC,AC为直径的两个半圆面积-以AB为直径的半圆面积4.（a-5）^2+（b-12）^2+（c-13）^2=0a^2+b^2+c^2+338=10a+24b+26c，答案就是：（a-5）^2+（b-12）^2+（c-13）^2=0,a=5，b=12，c=13为直角三角形5.在平面直角坐标系中有点A(-1,0),点B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴的正半轴于点C.(O为原点)(1)求点C的坐标OC=√[（0.5AB）²-（4-0.5AB）²]=2∴点C的坐标为（0，2）(2)求过A,B,C三点的解析式设y=a（x+1）（x-4），把（0，2）代入得a=-1/2∴y=-1/2（x+1）（x-4）=-1/2x²+3/2x+2，(3)在(2)的条件下,若在抛物线上有一点D,使四边形BOCD为直角梯形,求直线BD的解析式∵由图象知，DC‖x轴，四边形BOCD为直角梯形∴点D的纵坐标为2，当y=2时，-1/2x²+3/2x+2=2，x1=0，x2=3点D的坐标为（3，2）∴直线BD为y=-2x+8(4)设点M是抛物线上任意一点,过点M做MN垂直y轴于点N.若在线段AB上有且只有一点P,使角MPN为直角,求点M坐标.设点M坐标为（x，y）由图象知，当y=±1/2x时，线段AB上有且只有一点P,使∠MPN为直角∴-1/2x²+3/2x+2=±1/2x∴x=1±√5或x=2±2√2∴点M坐标为（1+√5，1/2+1/2√5）或（1-√5，1/2-1/2√5）或（2+2√2，-1-√2）或（2-2√2，-1+√2）(△MPN为等腰直角三角形）6.边长为2的正方形ABCD内有一点P，求PA+PB+PC的最小值。请写出过程。解命题就是求等腰直角三角形ABC的费马点问题。证明过程不列出了，仅给出结论和最小值。过AB向形外作正三角形ABE，连CE，BD，BD与CE的交点为P，P点即为所求PA+PB+PC为最小值的点，CE就是PA+PB+PC的最小值。在三角形CBE中，由余弦定理得:CE^2=BE^2+BC^2-2BE*BC*cos∠CBE=4+4-8cos150°=8+4√3故CE=√6+√2。7.AB，AC分别是圆O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE垂直于AB于点H，交圆O于点E，交AC于点F。问题：当点D在劣弧AC上什么位置时，才能使AD的平方=DE·DF?解连AE，AF。因为AB是直径，DE⊥AB，所以AD=AE。当AF=DF时，此时D点在劣弧AC的中点。有AD^2=DE·DF。等腰ΔAFD∽等腰ΔDAE，AD/DE=DF/AD==AD^2=DE*DF。8.设：这个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c。则a+b=√6,c=2所以(a+b)^2=6即a^2+2ab+b^2=6又因为a^2+b^2=c^2=2^2=4所以2ab=6-4=2所以ab=1所以这个三角形面积为1/2ab=1/2*1=1/2=0.59.8/15＜n/(n+k)＜7/13化简得6n/7k7n/8,因整数k只有一个，固有7n/8-6n/7=2.解得n=112.n不超过112，检验知112满足k=97.故最大是112.8/15＜n/(n+k)＜7/13---13/7＜(n+k)/k＜15/8---6/7＜n/k＜7/8---8/7＜k/n＜7/6---(8/7)n＜k＜(7/6)nk只有一个---(7/6)n-(8/7)n≤1---n≤42即n的最大值=4210.正方体边长是a，沿着x,a-x的刻度切下，一方表面积为2a^2+4a*x,另一方表面积为2a^2+4a*(a-x),设前者是后者2倍，即2a^2+4a*x=4a^2+8a*(a-x),解得x=5a/6,则体积之比为x:(a-x)=5:1.11.已知：三角形ABC中，BE,CF是角B,C的平分线，BE=CF求证：AB=AC证明一：设ABAC,于是角ACB角ABC角BCF=FCE=ACB1/2角ABC=CBE=CBF在三角形BCF和三角形CBF中BC=BCBE=CF角BCFCBE所以BFCE1作平行四边形BEGF,则角EBF=FGEEG=BFFG=BE=CF连接CG,三角形FCG为等腰三角形则角FCG=FGC因为角FCEFGE所以角ECGEGC则CEEG=BF2显然〈1〉〈2〉矛盾同理ABAC矛盾则AB=AC证明二：引证:若三角形AD为角平分线，则BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c)所以BD=ac/(b+c)CD=ab/(b+c)由斯特瓦尔特定理得：c2(ab/(b+c))+b2(ac/(b+c))-aAD2=aa2bc/(b+c)2则AD2=bc(1-(a/(b+c)2)三角形ABC中BECF为角BC的平分线由BE=CE得ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2)所以a(a+b+c)((a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0所以b=c12.答案有两个分别为15度或60度13.15.作D关于AB的对称点F，连结DF交AB于E，则CE+DE为所求最小值，连结BF，易知BF=1,CE+DE=CE+EF=CF=√5---[三角形CBF中用勾股定理得］16.步骤：AO：OE=AB：DE=2：1得到三角形AOB的面积为（1/2）*1*（4/3）=2/3三角形BEC的面积为1/2由此得到阴影AOBED的面积为2-2/3-1/2=5/6一个最简单的方法1.过0作DC的平行线，交AD于R，BC于T2.那么RO/DE=AR/ADRT/DC=BT/BC3.因为AR=BTAD=BCDC=2DE所以RO/DE=RT/DC所以RT=2RO4.RT=1/35.S=1/2(BC*DE)+1/2(AD*RO)=1/2*2*(1/2)+1/2*2*(1/3)=1/2+1/3=5/617.设：第一行数字为：A,B,第二行数字为：(A+d),(B-d)因两列相等：A+(A+d)=B+(B-d)2(A+d