公平的席位分配论文

题目：公平的席位分配问题摘要数学问题中离不开分配问题，下面我就以公平的席位分配问题进行分析。在以下的分析中，我会先按照比例的分配方法分配，再按照比例家惯例的方法进行分配，表示不公平的席位分配，最后我们利用Q值法对题目进行重新分配，以Q值的特性使得对其席位的分配更加公平。比例法是我们生活中必不可少的分配方法，但是在有的时候使用Q值法会得到更加的公平分配。关键词：席位分配比例法比例加惯例Q值法一、问题的重述与分析1.1问题的重述某学校有3个系学生共200名，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，三个系分别为10，6，4个席位。现因学生转系，三系人数分别为103，63,34名，问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。1.2问题的分析本题讲将有200名学生，甲103、乙63、丙34，现有20个或21个席位，那我们应该怎么来分配呢？看到这个题，首先想到的是用比例加惯例法，得出：20个席位，三系仍分别占有10,6,4个席位；21个席位，三系分别占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙不太公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席，最后通过比较，还是Q值法分配相对公平。二、符号设定1、各系的人数：pi（i=1,2,3……）2、各系分配到的席位数：ni（i=1,2,3……）3、各系不公平程度的指标：ri（i=1,2,3……）4、各系Q值：Qi（1,2,3……）三、模型的建立与求解3.1比例加惯例分配如下表系别学生人数比例（%）20席的分配21席的分配比例结果比例结果甲10351.310.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703总和200100.020.02021.00021分配的席位取整数，20席位时，甲、乙、丙系分到的席位数分别为10,6,4；可是总席位增加1个席位时，丙系却由4席减为3席，这显然对丙席不公平。所以按照各系人数所占比例大小分配，有的时候是不公平的。不妨设A、B方人数分别为p1、p2，席位分别为n1、n2当p1/n1=p2/n2时，分配公平当p1/n1p2/n2时，对A不公平p1/n1-p2/n2～对A的绝对不公平度如：p1=150，n1=10，p1/n1=15p1=1050，n1=10，p1/n1=105p2=100，n2=10，p2/n2=10p2=1000，n2=10，p2/n2=100人数席位A方p1n1B方p2n2p1/n1-p2/n2=5p1/n1-p2/n2=5虽二者的绝对不公平度相同，但后者对A的不公平程度已大大降低。若p1/n1﹥p2/n2，定义～对A的相对不公平度，类似地定义rB(nn21)公平分配方案应使rA，rB尽量小将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1﹥p2/n2，即对A不公平讨论以下几种情况：（1）若p1/（n1+1）﹥p2/n2，则这席应给A（2）若p1/（n1+1）﹤p2/n2，应计算rB(nn21,1)（3）若p1/n1﹥p2/（n2+1），应计算rA(1,21nn)问：p1/n1﹤p2/（n2+1）是否会出现？否！若rB(nn21,1)﹤rA(1,21nn),则这席位应给A若rB(nn21,1)﹥rA(1,21nn)，则这席位应给B3.2分配新方法“Q值法”（一）当rB(nn21,1)﹤rA(1,21nn)，该席给ArA，rB的定义该席给A，否则该席给B定义：该席给Q值较大的一方),(///21222211nnrnpnpnpA)1()1(11212222nnpnnp,2,1,)1(2innpQiiii推广到m方分配席位，计算，该席给Q值最大的一方（二）三系用Q值法重新分配21个席位：按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103，n1=10乙系：p2=63，n2=6丙系：p3=100，n3=10用Q值法分配第20席和第21席第20席：最大,第20席给甲系第21席：最大，第21席给丙系Q值方法分配结果：甲系11席，乙系6席，丙系4席，相对要公平3.3结果对比综上所述：按惯例分配法得到的席数分别为：10,6,4，而按Q值计算得到的结果为：11,7,3，只有这样才能做到相对公平四、模型评价席位分配问题应该对各方公平，其关键在于建立合理的数量指标，比例法所得的结果是相对不公平的，在这个前提下，使用Q值法求出结果，这是相对公平平等的。五、参考文献《数学建模》（第四版）姜启源minnpQiiii,2,1,)1(2计算3.964334,5.947663,4.961110103232221QQQ1Q3Q3.96433423,5.94766322,4.80111010321QQQ