六系补充第一章时域分析法

补充第一章阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包含有电容和电感等动态元件，这样的电路称为动态电路。在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间t的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称为时域分析法。本章主要讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，以及二阶电路在恒定输入下的零状态响应。§1-1阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变动的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。本节就来讨论这两种函数的定义、性质及作用于线性动态电路时所引起的响应。单位阶跃函数（unitstepfunction）用()t来表示，它定义为0(0)()1(0)ttt波形如图1-1（a）所示，在0t处，()t由0跃变至1。如果单位阶跃函数的跃变点不是在0t处，而是在0tt处，波形如图1-1（b）所示，则称它为延迟的单位阶跃函数，用0()tt表示，即0000()()1()tttttt图1-1单位阶跃函数与任一常量K的乘积()Kt仍是一个阶跃函数，此时阶跃的幅度为K。单位阶跃函数与任一函数()ft的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变为零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()tfttfttttftttfttt因此，单位阶跃函数可以用来“起始”一个任意函数()ft，这给函数的表示带来了方便。例如对于线性函数()(ftKtK为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)可以清楚地看出()ft、()()ftt及0()()fttt的不同。图1-2应该指出，函数000000()()()()()ttfttttftttt与0()()fttt是不同的。前者相当于把()()ftt向后延迟了时间0t[波形如图1-2(d)所示]，而后者只是()ft在0t以后才有值。要注意它们的差别。在电路分析中，可以利用单位阶跃函数来表示某些输入波形。例如对图1-3(a)中()ft的波形，可以看做是图(b)中两个单位阶跃函数的波形合成的结果，从而有12()()()fttttt图1-3同理，可将图1-4(a)和(b)中的波形分别表示成11212()()()()()0.5()1.5()ftKtttftttttt图1-4单位阶跃函数还可以用来“模拟”电路中的开关动作。例如图1-5(a)中电路的输入为()Sut，其含义与图1-5(b)中的开关动作是一样的，即0t时RC电路被短接，输入为零；0t时RC电路被接到电压源Su上。与此类似，图1-6(a)中电路的输入为1()Sitt，其含义与图1-6(b)中的换路也是一样的，即在1tt时RL电路与电流源没有接通，输入为零；而在1tt时，RL电路才被接到电流源Si上。图1-5图1-6当电路的输入为（单位）阶跃函数时，相应的响应称为（单位）阶跃响应。应该指出的是，如果电路仅有阶跃输入，则因为换路前输入为零，故其初状态必为零。因此电路的（单位）阶跃响应是在（单位）阶跃输入作用下的零状态响应。例1-1求单位阶跃电流源作用于RC并联电路时的响应()Cut（电路如图1-7所示）。图1-7解0t时由于输入为零，故(0)0;0Cut时换路，换路后1A电流源作用于电路，可用三要素法分析如下(0)(0)0()CCCuuuRRC故()(1)(0)tRCCutRet考虑到0t时0Cu，故所求响应亦可写作()(1)()tRCCutRet而不必再另行标注时间域了。如将上例中的输入改为延迟的单位阶跃函数1()tt，则响应也应延迟1t，变为11()(1)()ttRCCutRett若把上例中的输入改为S()It，则根据零状态响应的线性性质，其响应将变为()(1)()tRCCSutRIet综上所述，如果把某电路对单位阶跃输入()t的响应记做()()()stxtt，则该电路对延迟1t时刻的单位阶跃输入1()tt的响应为111()()()sttxtttt，而对输入为()Kt的响应为()()()KstKxtt。例1-2求单位阶跃电压源作用于RC串联电路时的响应()Cut（电路如图1-8所示）。图1-8解0t时，输入为零，(0)0,0Cut后，1V电压源作用于电路，所求响应的三要素分别为(0)(0)0()1CCCuuuRC故()(1)()tRCCutet例1-3图1-9(a)所示电路中输入Su的波形如图1-9(b)所示。求()Cut。图1-9解由例1-2知，所求电容电压的单位阶跃响应为()(1)()tRCstet今输入可用单位阶跃函数表示为1()()SuUttt根据线性电路的叠加性质和零状态响应的线性性质，可由()st直接写出此时所求的响应为111()()()(1)()(1)()CtttRCRCutUstUsttUetUett该例也可看做二次换路问题，如图1-9(c)所示，可用三要素法分时间段求得结果如下1111(1)(0)()(1)()tRCCtttRCRCUettutUeett两种解法所得结果表面看起来似不一致，但实际上是一样的：在10tt时，前一种结果中的第二项为零，故两结果相同；在1tt时，前一种结果中的两项均不为零，经变换与后一种结果仍然是相同的，即111111()(1)(1)(1)tttRCRCCtttttRCRCRCRCtttRCRCutUeUeUeUeeeUee下面介绍单位冲激函数（unitimpulsefunction）。在引出单位冲激函数之前，先介绍一个矩形脉冲函数（pulsefunction）()ft，其定义如下0(0)1()(0)0()tfttt由定义可得()ft的波形如图1-10所示，它表示一个宽度为，高度为1/的矩形脉冲。由于这一脉冲所围的面积——称做脉冲的强度——为1，故又称()ft为单位脉冲函数（unitpulsefunction）。单位脉冲函数的特点是，脉冲宽度越小，脉冲高度1/越大，但脉冲所围面积即脉冲强度始终为1，保持不变，如图1-10中所示。当0时，将会得到一个宽度为零、高度无限而面积为1的特殊脉冲，我们称此特殊脉冲为单位冲激，记做()t，即0()lim()tft图1-10根据以上的介绍，我们可以给单位冲激函数()t正式定义如下()0(0)()d1tttt因为在0t时()0t，而当0t时，()t，所以单位冲激函数不是普通意义下的函数，而是一种奇异函数（singularfunction），其图形表示如图1-11(a)所示。箭头旁注明1表示其强度为1。如果单位冲激函数不是在0t时出现，而是在0tt时出现，则称之为延迟的单位冲激函数，记做0()tt，其图形表示如图1-11(b)。如果冲激函数的强度不是1而是K，则用()Kt或0()Ktt表示，其图形表示如图1-11(c)。图1-11因为0t时()0t，所以对于在0t处连续的任意函数()ft，将有()()(0)()fttft并有()()d(0)()d(0)ftttfttf同理，对于在0tt处连续的任意函数()ft，将有000()()()()ftttfttt并有0000()()d()()d()fttttfttttft以上说明，单位冲激函数有把一个函数在某一瞬间的值“筛选”或“抽取”出来的本领，称单位冲激函数的这一性质为“筛分”性质或“取样”性质。由()t的定义式可知0(0)()d1(0)ttt即()d()tt（1-1）可见，单位阶跃函数是单位冲激函数的积分。反过来，单位冲激函数就是单位阶跃函数的导数，即d()()dttt（1-2）当然，从传统的数学观点来看，严格地说，冲激函数的定义及阶跃函数的求导都是值得怀疑的。但在实际中，这两种函数及其相互关系却是十分有用的。在工程实际中，既不存在绝对的冲激，也不存在绝对的阶跃，它们都是被理想化、抽象化的结果。事实上，我们可以把一种上升速率极快的波形近似看做阶跃；对这种波形求导的结果将会得到一个宽度极为窄小而幅度极大的脉冲，该脉冲便可近似看做冲激。当电路的输入为（单位）冲激函数时，相应的响应称为（单位）冲激响应。下面就以RC并联电路接于单位冲激电流源为例（电路如图1-12所示）讨论其响应。图1-12由于冲激函数是一种特殊函数，它的值在0t时处处为零，且有00()d()d1tttt因此以冲激函数作为输入可把电路的激励情况分为以下三个阶段：①0t时，由于()0t，电路相当于零输入，故必有(0)0Cu；②0t时，也就是在0t到0t区间，()0t，此时电路受到激励，从而使储能元件电容在这一瞬间获得了能量，即(0)Cu的值已不为零；③0t时，又有()0t，电路仍相当于零输入，此时电容电压应为()(0)tRCCCutue以上的分析说明，电路对单位冲激函数()t的零状态响应实际上包含两个过程，即由()t在0t瞬间给电路建立起一个非零的初始状态(0)Cu及由该初始状态在0t时引起的零输入响应。不难发现，这里的关键问题是(0)Cu的确定。显然，由于冲激电流源的存在，已不能保证在0t瞬间电容电流为有限值，因而(0)Cu=(0)Cu即电容电压在0t瞬间不发生跃变的结论在此已不适用，必须另外寻求确定(0)Cu的方法。对我们所考虑的电路，由KCL，有d()dCCuuCttR由于()t只在0t到0t区间不为零，所以我们对上式两边由0到0取积分，得000000ddd()ddCCuuCtttttR式中左边第二项只有在Cu为冲激函数时才不为零；但如果Cu为冲激函数，d/dCut将为冲激函数的一阶导数，如此就不能满足KCL，即上述KCL方程将不能成立。所以Cu为冲激函数是不可能的，只能是有限值。于是该项积分应为零。从而可得(0)(0)1CCCuu故11(0)(0)CCuuCC这一结果说明，在单位冲激电流源()t的作用下，电容电压在0t瞬间发生了跃变，由(0)0Cu跃变为(0)1/CuC。求得(0)Cu之后，便可得到电路的单位冲激响应为1()(0)tRCCutetC考虑到0t时0Cu，所以该单位冲激响应可以写作1()()tRCCutetC由此可进一步求得电容电流d1()()()d1()()ttCRCRCCtRCuitCetettRCtetRC图1-13画出了()Cut和()Cit的变化曲线。其中电容电流Ci在0t时为一单位冲激电流，正是该电流使电容在一瞬间获得一库仑的电量，从而使电容电压Cu在此一瞬间由零跃变至1/C。0t时，由于电流源的电流()0t，电源支路相当于开路，电容通过电阻放电，故Ci为负值；电容电压Cu则由1/C逐渐衰减，最终趋向于零。图1-13现在，让我们回过头来仔细考察RC并联电路分别接于单位冲激电流源和单位阶跃电流源（例1-1）两种情况下的响应()Cut。为了便于区别，把单位阶跃响应用()st表示，单位冲激响应用()ht表示，即()(1)()1()()tRCtRCstRethtetC则有d()11()(1)()()dtttRCRCRCstetRetettCC即有d()()dsthtt（1-3）这一结果告诉我们：一个电路的单位冲激响应是其单位阶跃响应对