公开课教案《折纸法探究抛物线的定义和标准方程》

第1页共4页教师公开课课时计划科目数学课题折纸法探究抛物线的定义及标准方程任课教师王东纬职称中学数学一级上课班级上课日期上课地点【教学目的】1、通过折纸法画抛物线让学生探究抛物线的定义及标准方程；2、让学生深刻体会抛物线是到定直线的距离与到定点的距离相等的点的轨迹；3、让学生学会通过挖掘事物隐含的细节，探究事物的本质.【教学重点】让学生理解抛物线是到定直线的距离与到定点的距离相等的点的轨迹【教学难点】引导学生从折纸法画抛物线中挖掘有用的探究细节【课的类型】新授课【讲授方法】讲练结合、活动探究、引导提问【教具】黑板、小黑板、三角板、16k纸张若干【教学过程】一、复习引入：我们在学解析几何之前已经接触过抛物线，同学们回想一下，你是在哪个知识点学习过抛物线的？（二次函数的图象）画抛物线需要具备哪几个要素？（三个要素，即对称轴、顶点、开口方向）今天，我们所学习的抛物线并非完全是二次函数的图象，而是从解析几何的角度去研究它。我们先来看抛物线在解析几何中的定义。二、新课内容：1、抛物线的定义：一般地，平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。接下来，我们用折纸法画抛物线，以加深对抛物线定义的理解。2、折纸法画抛物线：（用小黑板折叠演示）（1）取一张矩形纸，以矩形的一边为l，在矩形内部取一定点F；第2页共4页（2）过F作一垂线垂直于直线l，并交直线l于点E，取EF的中点O；（3）开始折纸片，使得l边正好通过F点；（4）在直线l上找出点F关于折痕对称的点1F；（5）过点1F作垂直于l的直线，交折痕于点1M；（6）重复上述（3）～（5）的步骤分别作出点),4,3,2(iMi；（7）将上述所作的点),3,2,1(iMi和点O从左到右依次用光滑的曲线连接，即可得到一条抛物线的图象.3、学生自己动手完成上述画法：（每位学生发给一张16k纸张，现场操作，并展示他们的成功作品。）4、抛物线定义的探究：（引导设问）（1）折纸法画抛物线的过程中，矩形纸张内部的点F和矩形纸张的边缘l分别是抛物线的什么部分？（2）线段EF的中点O是抛物线的什么部分？（3）点),3,2,1(iMi为什么一定是抛物线上的点？怎么证明？（4）图中的每一条折痕与抛物线有什么位置关系？ll第3页共4页【小结】抛物线上的点到抛物线的焦点F的距离等于到抛物线的准线l的距离.5、抛物线标准方程的探究：以O为原点，以EF为x轴正方向，建立平面直角坐标系xOy，令pEF，则)0,2(pF，准线l的方程为2px.设),(yxM为抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d，根据抛物线的定义，则dMF根据两点距离公式及点到直线距离公式，有2)2(22pxypx两边平方得，222)2()2(pxypx展开并整理得，)0(22ppxy同理，分别以EF为x轴负方向、y轴正方向、y轴负方向建立平面直角坐标系xOy，即根据焦点F所在的不同位置，便可得到抛物线的其他三种形式的标准方程。汇总如下表所示：三、课堂总结：从本节课我们认识到抛物线是到其焦点F的距离等于到其准线l的距离的点的轨迹。接下来我们将进一步利用抛物线的焦点坐标、准线方程等性质进行解题。具体有待详细展开。四、课后作业：第4页共4页