第八章-反步设计方法

第八章反步设计方法华南理工大学华南理工大学自动化学院反步设计方法的基本思想反步设计方法的基本思想„将复杂的非线性系统分„将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统然后为每个子⎪⎧+=xfxx)(1121&子系统,然后为每个子系统设计部分Lyapunov函数(简称V函数)和中⎪⎪⎪⎪+=xxfxx),(21232M&函数(简称V函数)和中间虚拟控制量,一直“后退到整个系统⎪⎪⎪⎨+=+xxfxxiiii),...,(11&M“后退”到整个系统,将它们集成起来完成整⎪⎪⎪⎪⎩f)(&M个控制律的设计。⎪⎩+=uxxfxnnn),...,(1基于反步法的控制器设计基于反步法的控制器设计虚拟控制„虚拟控制⎪⎧+=xfxx)(1121&⎧=11xz⎪⎪⎪⎪+=xxfxx),(21232M&⎪⎪⎨⎧−=)(112211xxzxzα⎪⎪⎪⎨+=+xxfxxiiii),...,(11&M⎪⎪⎩⎨−=)(xxxzαL⎪⎪⎪⎪⎩f)(&M⎪⎩=−−),...,(111nnnnxxxzα⎪⎩+=uxxfxnnn),...,(1反步法的优点反步法的优点„1)通过反向设计使控制V函数和控制器的设计过程系统化、结构化;的设计过程系统化、结构化;„2)可以控制相对阶为n的非线性系统。8.2.1基于反步法的控制器设计考虑下列单输入单输出非线性系统⎪⎧+=xfxx)(1121&⎪⎪⎪⎪+=xxfxx),(21232M&⎪⎪⎪⎨+=+xxfxxiiii),...,(11&M⎪⎪⎪⎩+=uxxfx),...,(1&M(8.26)⎪⎩+uxxfxnnn),...,(1其中及分别是系统的状态和输入变量;系统的非线性部分呈下三角结构反步法的nRx∈Ru∈)(f统的非线性部分呈下三角结构。反步法的设计思想是视每一子系统中的为虚拟控制通过确定适当的虚拟反馈),...,(1iixxf),...,(11iiiixxfxx+=+&1+ix为虚拟控制，通过确定适当的虚拟反馈=，使得系统的前面状态达到渐近稳定但系统的解般不满足因此1+ixiα)1..,.,1(−=niα近稳定。但系统的解一般不满足=，因此，我们引进误差变量，期望通过控制的作用，使得与虚拟反馈间具有某种渐近特性从而实现整个1+ixiα1+ix与虚拟反馈间具有某种渐近特性，从而实现整个系统的渐近镇定。iα首先,我们利用虚拟控制,定义n个误差变量⎧⎪⎪⎨⎧−==)(112211xxzxzα⎪⎪⎩⎨−=−−),...,(111nnnnxxxzαL(8.27)其中待定。我们在每一步构造一⎩),,(111nnnniα)1..,.,1(−=ni其中待定我们在每步构个李雅普若夫函数，使每一状态分量具有适当的渐近特性。注意(8.27)本质上为一微分同胚，因i)1..,.,1(ni特()本质微分胚此为镇定原系统，我们只需要镇定原系统状态与虚拟反馈间的误差即可。1+ixiαz拟馈1+i第一步:对求导得1z(8.28))(+)([phone]xfxxzxfxz++−==&定义,取,21121zV=)(~)(111111zxfxααΔ=−−=⎪⎧+−=211zzz&⎪⎪⎪⎨+=∂∂−+=21231121232),(~~),(zzfxzzxxfxz&&Δα⎪⎪⎩+−=∂212111zzzVz&(8.29)显然如果(即)则由0=z)(xfx=α显然，如果(即)，则由(8.29)知渐近稳定。但一般情况下，因此我们再引入虚拟控制使得其误差02=z)(1111xfx−−=α1z02≠z2α)(~此我们再引入虚拟控制使得其误差具有期望的渐近性态。为此，我们进行下一步设计2α)(1122zxzα−=计第二步:定义,取,则122221VzV＋=),(~~212212zzfzz+−−=Δα则⎧+&⎪⎪⎪⎧+−−=+−=3212211zzzzzzz&⎪⎪⎪⎪⎨+=∑∂∂−+=32134212321343),,(~~),,(zzzfxzzxxxfxzi&&Δα⎪⎪⎪⎩+−−=∂=32222121zzzzVzii&(8.30)显然，如果(即)，则03=z),(~~212212zzfzz+−−=α由(8.30)知,渐近稳定。但一般情况下，因此我们再引入虚拟控制使得其1z2z03≠z3α误差具有期望的渐近性态。如此下去，可找到一般情形下的李雅普若夫函数及虚3333~α−=xz拟控制。第i步:定义如下李雅普若夫函数及虚拟控制iV;),...,(~),...,(11iiiiizzxxαααΔ==)(21221iizzV++=L21ii~Δ),...,(~~11iiiiizzfzz+−−=−α(8.31)则有⎧~⎪⎪⎪⎧+−−=++=+−+11111),...,(),...,(~iiiiiiiiizzzzzfzzzz&α⎪⎪⎪⎪⎨+++++−=++11122111)],...,(~),...,(~[)(iiiiiiiiiiizzfzzzzzzVL&α⎪⎪⎩+++−=+1221)(iiizzzzL注意在第步由上式知1n注意在第步，由上式知1−n⎪⎪⎧+−−=−−−−nnnnnzzzzz1121~&⎪⎪⎪⎪⎨+−−=−−−−−nnnnnVzzfzz22111121)(),...,(~&α⎪⎩+++−=−−−nnnnzzzzV121211)(L因此在最后一步可得⎪⎧+=∑∂∂−++=−−),...,(~~),...,(1111uzzfzuxxfxznninnnnnn&&Δα⎪⎩⎪⎨+++++−=∑∂−−=]),...,(~[)()()(112121111uzzfzzzzzVfzfnnnnnnnnniiinnnnL&(832)⎩]),,([)(1111fnnnnnnn(8.32)选取反馈控制规律为(833)),...,(~),...,(~111nnnnnnzzfzzzzu−−−==−α(8.33)则由上述关系式(8.32)及(8.33)得⎪⎧−−=1zzz&⎪⎩⎪⎨⎧+++−=−−)(221211nnnnnnzzzVzzzL&(8.34)因此误差是指数渐近稳定的从而在上述反步法因此误差是指数渐近稳定的。从而在上述反步法中给定的虚拟控制(8.31)及反馈控制(8.34)下，原非线性系统确实是指数渐近稳定的原非线性系统确实是指数渐近稳定的。由上设计方法可知，反步法实际上是一种由前往后递推的设计方法然而比较适合在线控制达后递推的设计方法，然而比较适合在线控制，达到减少在线计算时间的目的。此外，反步法中引进的虚拟控制本质上是种静态补偿思想前面进的虚拟控制本质上是一种静态补偿思想，前面子系统必须通过后边子系统的虚拟控制才能达到镇定目的因此该方法要求系统结构必须与(826)镇定目的，因此该方法要求系统结构必须与(8.26)类似的所谓严参数反馈系统或可经过变换化为该种类型的非线性系统反步法在设计不确定系统种类型的非线性系统。反步法在设计不确定系统(特别是当干扰或不确定性不满足匹配条件时)的鲁棒或自适应控制器方面已经显示出它的优越性鲁棒或自适应控制器方面已经显示出它的优越性。8.2.2一类不确定非线性系统的自适应控制8.2.2类不确定非线性系统的自适应控制考虑下列所谓的严参数反馈非线性不确定系统考虑下列所谓的严参数反馈非线性不确定系统⎪⎧−≤≤+=nixxxx11)(1T1θϕ&⎪⎩⎪⎨⎧+=≤≤+=+uxxxxnixxxxnniiii)()(+)(11,),....,(0T011βθϕϕθϕ&(8.35)⎪⎩+uxxxxnn)()()(00βθϕϕ(8.35)其中及分别是状态和输入变量;是未知参数向量;及是光nRx∈Ru∈pR∈θ0,)(0≠xβ)(0xϕ)1(niRpi≤≤∈ϕ未知参数向量;及是光滑的纯量和向量函数。下面我们用反步法来设计自适应控制器使得系统具有良好的动态特性。0,)(0≠xβ0)(iϕ自适应控制器使得系统具有良好的动态特性设是可调节的未知参数估计向量，则(8.35)可改写为下列形式θˆ改写为下列形式⎪⎧−≤≤−++=+nixxiiii.11),ˆ(ˆTT1θθϕθϕ&⎪⎩⎪⎨+−+=≤≤+++uxxxnixxnnniiii)()ˆ(ˆ+)(.11),(0TT01βθθϕθϕϕθθϕθϕ&(8.36)同上述镇定问题一样，我们引入下列误差坐标⎪⎧=ˆ11xz⎪⎪⎪⎨−=),(1122θαxxzL(837)⎪⎪⎩−=−−)ˆ,,...,(111θαnnnnxxxz(8.37)其中是虚拟控制函数)ˆ,,...,(1θαiixx其中是虚拟控制函数。),,...,(1θαiixx首先将调节到平衡点及镇定相应的平衡点1x01=exe点ex⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−−=−=11)~~(0~~=0TTTT1nixxeeθθϕθϕϕθϕ(838)⎪⎩−≤≤−−−=−−+.11,)...,,(0,=111nixiiiiθθϕθϕϕθϕ(8.38)其中()是系统的镇定函数,显然(8.37)为一微分同胚因此如在新坐标下解具有适当的动态ni≤≤1z微分同胚,因此如在新坐标下解具有适当的动态特性,则在原坐标下解也具有同样的动态特性。zx第一步，设及11xz=(8.39))ˆ()ˆ(111T211θθΓθθ−−+=−zV(8.39)则有)()(2211则有)ˆ++(T111212111zcxzzcVθϕ+−=&)ˆ()ˆ(+)++(111T11121111zzcxzzcVϕΓθΓθθθϕ−−+−&(8.40))()(11ϕ(8.40)显然当(841)11111T1112ˆ;0ˆ++ωΓϕΓτθθϕΔΔzzzcx====&(8.41)时有,从而此时保证了解的渐近稳定性既然一般不成立我们引进新2111zcV−=&1z0ˆ++T=θϕzcx性。既然一般不成立,我们引进新误差变量(也即(8.37)中)进行补偿得闭环系统0++1112=θϕzcxθϕˆ++T11122zcxz=θˆT中)进行补偿,得闭环系统θϕα-T1111zc−=T)ˆ(+θθ+&(8.42)1T2111)(+ωθθ−+−=zzcz相应地有相应地有ˆˆ&&)ˆ()ˆ(+11T212111τθΓθθ−−+−=−&zzzcV(8.43)若及趋于零，则显然及分别趋于1z2z1x2x若及趋于零，则显然及分别趋于平衡点0及。1z2z12xθϕˆT1−我们在下一步对(8.42)右端第二项采用反步法进行补偿由此下去在第步对应阶系统ii行补偿。由此下去，在第步对应一阶系统ii⎧ˆˆ∂α&⎪⎪⎪⎧−−−−+−−=−+−1T11)ˆ(ˆ)ˆ(kkkkkkkkzzczzτθθ∂∂αωθθ&⎪⎪⎪⎨−≤≤∑+2-1=111,ˆ+kjkjjikzωΓθ∂∂α⎪⎪⎪⎪∑−+−++=−−1-1T11T11=ˆ)(iijjiiiiijxzzθ∂αθϕ∂αθϕαθ∂&&(844)⎪⎪⎩∑+++++1=11ˆ)(jjjjiiiixxzzθθ∂θϕ∂θϕα(8.44)其中为正常数,为正定自适应增益矩阵及kcTΓΓ=∑−−11)ˆ(ii∂αθ∑−=111=),...,,(jjjiiiixxxϕ∂ϕθω(8.45)它通过取下列镇定函数和参数的自适应律αθˆ它通过取下列镇定函数和参数的自适应律iαθiiiijiiiixzczτ∂α∂ααˆ11-111∑++−−=−−+iijjjiiiixxzcz∂ατθ∂∂αˆ21=11∑+++−iijjjjxzωθΓ∂∂α]ˆ[2-1=T1∑−++jj(8.46)∑=ijjiizxx1=)ˆ,...,,(ˆωΓθτθ&∑=jjjii11),,,((847)(8.47)及下列李雅普若夫函数11i)ˆ()ˆ(21211T21θθΓθθ−−+∑=−=jijizV(8.48)实现镇定也即期望当后面调节误差为零时实现镇定，也即期望当后面调节误差为零时有。读者可直接利用上述关系式写出1+iz21jijjizcV∑−=&不为零时的一般形式。1j=1+iziV&注意到(8.44)中第二个方程与下一步的状态变量有关,它本质上是上一步的调节误差补偿量。因此在设计时必须反步进行,也即从1+iz后面开始往前进行补偿。如果后面的误差达到期望的渐近性态,则前面一步