第三章-基本波函数

第三章基本波函数3.1标量波函数1.直角坐标系中的标量函数定义：标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征函数。标量亥姆兹方程的解可表示为()()()xyzψhkxhkyhkz=（3-5）解谐函数类型：()xhkx'''xxxkkjk=-函数的表示波动特性xjkxe-''0xk='0xk=复数xk'xjkxe-''xkxe-'''xxkxjkxee--向x方向传播的等幅行波随x衰减的凋落波向x方向传播的衰减行波xjkxe''0xk='0xk=复数xk'xjkxe''xkxe'''xxkxjkxee向x-方向传播的等幅行波随x-衰减的凋落波向x-方向传播的衰减行波sinxkx''0xk='0xk='sinxkx''sinhxkx沿x分布的正弦驻波两种凋落波的合成cosxkx''0xk='0xk='cosxkx''coshxkx沿x分布的余弦驻波两种凋落波的合成2.圆柱坐标系中的标量波函数第一类柱贝塞尔函数通常称为贝塞尔函数，以表示()nρJkρ，称为第n阶贝塞尔函数。当n为整数时，可由下列级数表示201J()(1)()!()!2ρknknρkkρkρknk¥+==-+å（3-19）第二类贝塞尔函数又称为诺依曼函数，以()nρNkρ表示。它与第一类贝塞尔函数的关系为201J()(1)()!()!2ρknknρkkρkρknk¥+==-+å（3-20）当时0ρ®时()nρNkρ。当n为整数时，()nρNkρ。当n为整数时，为贝塞尔方程的另一个线性无关的解。3.圆球坐标系中的标量波函数21()(1)2!nnnnndPxxndx=-（3-37）11111Q()P()(ln)P()P()21nnnknkkxxxxxxk--=+=--å（3-38）式（3-37）和式（3-38）分别称为第一类勒让德函数()nPx和第二类勒让德函数Q()nx。3.2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用1.平面波用圆柱面基本波函数展开向x方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为()jkxnjnφnnejJkρe¥--=-?=å（3-47）2.柱面波用基本波函数展开利用贝塞尔函数的叠加定理，以'ρ为中心轴的柱面波可转变为以Z轴中心轴的柱面波，即''(2)'()'(2)'0'(2)()'()();Ψ()44()();jnφφnnnjnφφnnnJkρHkρeρρjjHkJkρHkρeρρ¥-=-?¥-=-?ìïïïïï=-=íïïïïïîååρρ（3-50）3.平面波用球面波基本波函数展开cos0(21)()(cos)jkrθnnnnejnjkrPθ¥--==+å（3-56）4.球面波用基本波函数展开'(2)''0(2)'0''(2)'0(21)()()(cos);4()44(21)()()(cos);4jkrrnnnnnnnnjknhkrjkrPθrrπejkhkπjkπnjkrhkrPθrrπ¥--=¥=ì?ï+ïï-ï=-=íï--ï+ïïïîåårrrr5.点源场的平面波展开'''()()2Ψ8xyzyxjkxxkyykzzxyzkkjedkdkπk轾--+-+-犏臌=蝌（3-69）3.3理想导电圆柱对平面波的散射(2)()2()jksjnnznnJkaejEekHka（3-79）上述散射场式（3-79）中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。3.4理想导电圆柱对柱面波的散射'(2)(')0(2)()2()4'()sjknjnnznnJkaIjEejHkekHka（3-88）3.5理想导电劈对柱面波的散射'/20/21222()sinsinmzmmEEjJkmm（3-98）3.6理想导电圆筒上的孔隙辐射322cos(cos)2(sin)1(cos)2jkrnjnnnkLVLejeEkLarHka3.7理想导体圆球对球面波的散射(2)'0(2)0(21)()()(cos);'4(21)(')()(cos);'4nnnniznnnnjklnhkrjkrPrrAjklnjkrhkrPrrII(3-134)3.8分层媒质上的电偶极子反射波及透射波均可看成垂直电偶极子产生的场：221'(1)01221()()8jkkzzizRkHkejulAkdkkkI（3-139）222'(1)01222()()8jkkzzizTkHkejulAkdkkkI（3-140）反射系数和透射系数：22112211R（3-144）21()21(1)jdTRe（3-145）式中2211kk（3-146）2222kk（3-147）3.9矢量波函数电磁场满足矢量亥姆霍兹方程，为了直接求解矢量亥姆霍兹方程，需要引入矢量波函数，矢量波函数是3个独立的矢量函数，分别用L、M及N表示，其定义为lL（3-148a）()MMa（3-148b）1()NkNa（3-148c）三个矢量波函数具有以下性质：（1）L为无旋场；（2）M及N均为无散场；（3）L、M及N之间两两正交。可以看出性质（1）和（2）是显然的，性质（3）也容易证明。于是L、M及N构成正交函数系，且可证明是完备的。这样L、M及N的线性组合可构成矢量亥姆霍兹方程的完备解。