内招数学试卷

1暨南大学考试试卷答案得分评阅人一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。共7小题，每小题2分，共14分）1．经过点（1，3），且其切线的斜率为2x的曲线方程为22yx。2．20(ln(1))xdtdtdx=2ln(1)x。3．设222{(,)|}Dxyxya，则222Daxydxdy=323a。4．微分方程0xdyydx在初始条件1|2xy下的特解是2yx。5．函数22ln()1xzxyxy的定义域是22{(,)|0,,1}xyxxyxy。6．20|sin|xdx=4。教师填写2007-2008学年度第二学期课程名称：高等数学II（经管院内招生用）授课教师姓名：____________________________考试时间:2008年7月15日课程类别必修[√]选修[]考试方式开卷[]闭卷[√]试卷类别(A、B)[A]共9页考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[√]外招[]题号一二三四五六七八九十总分得分27．设某产品在时刻t总产量的变化率是()25ftt(0)t，则从2t到4t这两小时的总产量是22。得分评阅人二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。共10小题，每小题2分，共20分）1．设()fx的导数为sinx，则下列选项中是()fx的原函数的是（B）(A)1sinx(B)1sinx(C)1cosx(D)1cosx2．设曲线()yfx在[,]ab上连续，则曲线()yfx，xa，xb及x轴所围成的图形的面积是（C）(A)()bafxdx(B)()bafxdx(C)|()|bafxdx(D)|()|bafxdx3．下列广义积分发散的是（A）(A)1dxx(B)21dxxx(C)21dxx(D)1dxxx4．关于级数11(1)npnn的收敛性的下面结论中正确的是（A）(A)01p时条件收敛(B)1p时条件收敛(C)01p时绝对收敛(D)01p时发散5．1100(,)xdxfxydy=（D）(A)1100(,)xdyfxydx(B)1100(,)xdyfxydx3(C)1100(,)dyfxydx(D)1100(,)ydyfxydx6．函数()1fxx按x幂展开的麦克劳林级数的前三项是（C）(A)211124xx(B)211124xx(C)211128xx(D)211128xx7．二元函数(,)zfxy在点00(,)xy处可导（即偏导数存在）与可微的关系是（B）(A)可导必可微(B)可微必可导(C)可导一定不可微(D)可微不一定可导8．微分方程lnln0yxdxxydy的通解是（A）(A)22lnlnxyC（C为任意非负常数）(B)22lnlnxyC（C为任意非负常数）(C)22lnlnxyC（C为任意非负常数）(D)22lnlnxyC（C为任意非负常数）9．函数xzy在点（1，1）处的全微分是（C）(A)dxdy(B)dx(C)dy(D)010．下列差分方程中，不是二阶差分方程的是（D）(A)32132xxxyyy(B)20xxyy(C)330xxyy(D)20xxyy得分评阅人三、计算题（共4小题,每题6分,共24分）41．求不定积分1xdxx解1xdxxtx221tdtt………………………………2分=21121tdtt=12(1)1tdtt……………4分=212(ln|1|)2tttC……………………5分=12(ln|1|)2xxxC……………………6分2．求定积分31lnexxdx解31lnexxdx=411ln4exdx………………………………1分=4411(ln)4edxxxxx=43111(ln|)4eexxxdx………4分=44111(|)44eex………………………………5分=41(31)16e………………………………6分3．求定积分232220(1)xdx解232220(1)xdxsinxt32420(1sin)costtdt…………2分=240costdt……………4分=240sectdt=40tan|t……5分=1-0=1……6分54．已知ln()xyzxxye，求偏导数22222,,,,zzzzzxyxyxy。解ln()xyzxxyyexxy，xyzxxeyxy，…………3分22222212()()xyxyzxyxxyyeyexxyxyxy，2222()xyzxxeyxy，22(1)()xyzyxyexyxy………………………6分得分评阅人四、计算题（共4小题,每题7分,共28分）1．求曲线2,2yxyx所围成的平面图形的面积。解所围成的平面图形的面积为221(2)xxdx………………………3分=232111(2)|23xxx=92………………………7分2．计算二重积分1sinDIydxdyy，其中D是由22yx与yx所围成的区域。解1sinDIydxdyy=22201sinyydyydxy=22012sin()yyydyy………………………………3分6=22002sinsinydyyydy………………5分=22002cos|(cossin)|yyyy=21………………………7分3．求幂级数1nnxn的收敛域与和函数。解由111lim||lim||lim||111nnnnnannann…………………3分得到收敛半径为1，收敛域为[-1，1）。…………………5分设和函数1()nnxSxn，11'()nnSxx=11x，………………………………6分()Sx=ln(1)x。………………………………7分4．求微分方程2'xxyyxe的通解。解方程变为1'xyyxex，则通解为()()(())pxdxpxdxyeqxedxC=11()dxdxxxxexeedxC………………………………2分=1()xxxedxCx………………………………4分7=1()xxxedxCx………………………………5分=()xxeC………………………………7分得分评阅人五、应用题（10分）某工厂生产甲、乙两种产品，销售单价分别为100元和80元，已知生产x件甲种产品和y件乙种产品的总费用为(,)CCxy=1000040x30y220.1()xy，如果要求两种产品共生产1000件。问甲、乙两种产品各生产多少件时，所得利润最大？解总收益函数(,)10080Rxyxy……………2分总利润函数(,)(,)(,)LxyRxyCxy220.10.1605010000xyxy且1000xy求(,)Lxy在条件1000xy下的极值。……………4分构造拉格郎日函数22(,)0.10.1605010000Fxyxyxy+(1000)xy…6分求驻点，解联立方程组'0.260'0.2501000xyFxFyxy……………8分得525,475xy因此，甲、乙两种产品各生产525、475件时，所得利润最大。………10分得分评阅人六、证明题（4分）设函数()zfu，方程()()xyuuPtdt确定u是,xy的函数，其中()fu，()u可微；(),'()Ptu连续，且'()1u。证明()()0zzPyPxxy。8证明'()zufuxx，'()zufuyy'()()uuuPxxx，'()()uuuPyyy………2分所以()1'()uPxxu，()1'()uPyyu代入可得()()zzPyPxxy=0。………4分