信息光学-15二维傅里叶变换

§1.5二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp[),(),(为函数f(x,y)的傅里叶变换,记作:F(fx,fy)={f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],或f(x,y)F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函数,F(fx,fy):像函数或频谱函数dxKfxF),()()(变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2fx)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对记作:f(x,y)=-1{F(fx,fy)}.显然-1{f(x,y)}=f(x,y)综合可写:f(x,y)F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)和fx(fy)称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp[),(),(描述了各频率分量的相对幅值和相移.x,y,fx,fy均为实变量，F(fx,fy)一般是复函数,F(fx,fy)=A(fx,fy)ejf(fx,fy)振幅谱位相谱yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp[),(),(F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数广义F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)t则{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}t§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform二、广义F.T.根据广义傅立叶变换的定义和d函数的定义:{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)t则{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tfx)sinc(tfy){1}=d(fx,fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.{rect()}tx)(sinc)sin()(21)2exp(21)2exp()2exp()(rect2/2/2/2/xxxfjfjxxxxxfffeefjxfjfjdxxfjdxxfjxxxtttttttttt重要推论:{rect(x)}=sinc(fx)二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.依F.T.定义:sincos)(tan122ryrxxyyxr空域fffsincos)(tan122yxxyyxffffff频域极坐标变换dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp[),(),(§1-5二维傅里叶变换2-DFourierTransform极坐标下的二维傅里叶变换令:)sin,cos(),()sin,cos(),(fffrrfrgFG则在极坐标中:fff200)]cos(2exp[)sin,cos()sin,cos(rdrrjrrfdF则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：ffff200200)]cos(2exp[),(),()]cos(2exp[),(),(drjGdrgdrrjrrgdG§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform傅里叶-贝塞尔变换0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G()={g(r)},g(r)=-1{G()}drdrjrrgG020)]cos(2exp[)(),(ff当f具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)=g(r,)=g(r).依F.T.定义:利用贝塞尔函数关系)(2)]cos(exp[020aJdjaf2-DFourierTransform傅里叶-贝塞尔变换例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义:是圆对称函数22,,01,1)(circyxrrr其它100)2(2)}(circ{drrrJr作变量替换,令r’=2r,并利用:xxxJdJ010)()()2(')'('21)}(circ{12002JdrrJrr四、F.T.定理--F.T.的基本性质1.线性定理Linearity设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空间缩放Scaling(相似性定理）g(x,y)+bh(x,y)}=G(fx,fy)+bH(fx,fy)F.T.是线性变换bfafGabbyaxgyx,1),(§1-2二维傅里叶变换FourierTransform四、F.T.定理空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.g(x)x01/21/21g(ax)a=2x01/41/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域压缩F.T.F.T.频域扩展3.位移定理Shiftingg(x-a,y-b)}=G(fx,fy)exp[-j2(fxa+fyb)]设g(x,y)G(fx,fy),F.T.频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.g(x,y)exp[j2(fax+fby)]}=G(fx-fa,fy-fb)空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由1}=d(fx,fy)exp[j2(fax+fby)]}=d(fx-fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d函数4.帕色伐(Parseval)定理|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),(设g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒Parseval定理的证明dxdfxfjfGdffxjfGdxxgxgdxxg')'2exp()'(*)2exp()()(*)()(2交换积分顺序,先对x求积分:dxxffjdfdffGfG])'(2exp[')'(*)(利用复指函数的F.T.')'()'(*)(dfdffffGfGd利用d函数的筛选性质dffGfG)(*)(5.卷积定理空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.g(x,y)*h(x,y)}=G(fx,fy).H(fx,fy)设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.g(x,y).h(x,y)}=G(fx,fy)*H(fx,fy)空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积卷积定理的证明tttdxhgdxfxj)()()2exp(左交换积分顺序:tttddxfxjxhg)2exp()()(应用位移定理tttdfjfHg)2exp()()(tttdfjgfH)2exp()()(应用F.T.定义右6.相关定理自相关与功率谱的关系:作为练习自己证明。提示:利用卷积定理、相关定义和共轭函数的F.T.设g(x,y)G(fx,fy),F.T.反过来有:g(x,y)☆g(x,y)}=|G(fx,fy)|2|g(x,y)|2}=G(fx,fy)☆G(fx,fy)7.F.T.积分定理在函数g的各连续点上,1g(x,y)}=-1g(x,y)}=g(x,y)g(x,y)}=-1-1g(x,y)}=g(-x,-y)§1-5二维傅里叶变换FourierTransform五、可分离变量函数的变换通常g(x,y)是可分离变量的函数,即两个独立一元函数的乘积:g(x,y)=g1(x)g2(y)dyyfjygdxxfjxgyx)2exp()()2exp()(21=G1(fx)G2(fy)按二维F.T.的定义:dydxyfxfjyxgffGyxyx)](2exp[),()(,其傅里叶变换也是可分离变量的函数将二维函数的F.T.化为二个独立坐标上的一维函数的F.T.的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。注意:不可与两个函数乘积的F.T.相混淆!§1-2傅里叶变换FourierTransform常用傅里叶变换对1.{1}=d(fx,fy);{d(fx,fy)}=11与d函数互为F.T.4.{Gaus(x)}=Gaus(f)高斯函数的F.T.仍为高斯函数3.{rect(x)}=sinc(f);{sinc(x)}=rect(f)rect与sinc函数互为F.T.2.)comb()(comb1)comb()(combfxfxttt2常用傅里叶变换对5.{d(x-a)}=exp(-j2fxa){exp(j2fax)}=d(fx-fa)7.{tri(x)}=sinc2(f)6.)]()([21)2(cos000ffffxfxxdd)]()([21)2(s000ffffjxfinxxdd利用欧拉公式和5的结果)2(')'('21)}(circ{12002JdrrJrr8.