武汉大学12-13学年度第一学期数物A卷

武汉大学2012—2013学年度第一学期《数学物理方法》试卷（A）学院专业班学号姓名分数一、（本题10分）写出下列物理问题的定解问题1．一长度为的杆，在x=0的一端温度保持为零，而在另一端x=处保持绝热，初始杆上温度梯度均匀，写出此定解问题。2．散热片的横截面为矩形，边长分别为a和b。它的一边处于较高的温度U，其它三边处于冷却介质中因而保持低的温度u0，写出该横截面上的稳定温度满足的定解问题。二、（本题10分）定解问题02,)0,0(0020tlxxxxtutututlxDuu，若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。三、（本题10分）利用分离变量法求解下列定解问题：两端固定的弦的敲击问题。)0()00)0,0(00002ccxuuuutxuautttxxxxtt（四、（本题10分）一半径为R的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为，2cosRru，试求圆盘上稳定的温度分布。五、（本题15分）一维无界波动问题xuxutxuutttxxttcos2sin)15()0,(04001）试证)2()2(),(21txftxftxu是方程(5-1)的解，)(1xf和)(2xf两个任意函数。2）利用达朗贝尔公式求解此一维无界波动问题。六、（本题15分）柱坐标系中的热传导问题：有一无穷长的圆柱体，半径为1，若柱表面的温度为0，初始温度分布为02)1()(Tf，试：1）写出此的定解问题；2）本征值和本征值函数；3）分离变量后，关于)(tT满足的方程和解；4）写出圆形膜的通解；5）求柱内的温度分布变化。注意：通工、电科、电工、光科、测控专业做第七到第八题。七、（本题15分）计算和证明下列各题1.微分方程''()()0XxXx（0）和边界条件()()0XaXa构成本征值问题，求相应的本征值和本征函数。2.证明)(2)(024003JadxxaJxa，其中是0)(1xJ的正根。八、（本题15分）1）计算积分112)(dxxPxn2）有一半径为a的均匀球壳，其电势分布为20cosu，球壳内、外无电荷，写出此定解问题，并求空间的电势分布。注意：电波传播专业做第九题到第十一题。九、（本题10分）计算和证明下列各题1.微分方程''()()0XxXx（0）和边界条件()()0XaXa构成本征值问题，求相应的本征值和本征函数。2.证明)(2)(024003JadxxaJxa，其中是0)(1xJ的正根。十、（本题10分）有一半径为a的均匀球壳，其电势分布为20cosu，球壳内、外无电荷，写出此定解问题，并求空间的电势分布。十一、（本题10分）半平面的Dirichlet问题)(),0()0(,0),(2yfyuxyxu1）写出二维Dirichlet-Green函数),,,(00yxyxG满足的定解问题；2）用电像法写出半平面的Dirichlet-Green函数；3）计算Dirichlet-Gerrn函数在边界点（0,0）点的法线方向的导数；4）写出定解问题的解。参考公式(1)球坐标中Laplace算符2的表达式22222222sin1sinsin11rrrrrr柱坐标中Laplace算符2的表达式22222211z(2)Legendre方程0)()1(])()1[(2xynndxxdyxdxd(3)Legendre多项式kllklklxklklkklxP220)!2()!(!2)!22()1()((3)Legendre多项式的递推公式0)()()12()()1(11xlPxxPlxPllll，)0(l(4)Legendre多项式的正交关系kllklxPxP122)()(11(5)整数阶Bessel函数022)!(!)1()(mnmmnxnmmxJnmnmmnxnmmxJ22)!(!)1()((6)Bessel函数的递推关系)()(1xJxxJxdxdnnnn)()(1xJxxJxdxdnnnn(7)广义Fourier展开1)()(mnmnmkJCfanmnmnmdfkJxJaC0212)()()(21