例说旋转变换在几何证明中的运用

细说旋转变换在几何证明中的运用将平面图形绕某一点旋转一定角度，到另一个新位置，这种图形变换称之为旋转变换。它能使某些线段或角相对集中，为解决问题带来极大的方便。下面略举几例说明它在几何中的运用。1、如图：E为等边三角形ABD的BD边上一点，是AE延长线上一动点，问∠BCD等于多少度时，有CD+BC=AC.2、如图：∠ABC=30O，∠ADC=600，AD=CD。求证：222BCABBD3、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900，P为形内一点，且PB=1,PC=2,PA=3,求：∠BPC的度数。4、已知点E,F在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠DAF=∠EAF,求证：DF+BE=AE。5、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=1200,∠ABC+∠AED=1800,求证：AD平分∠CDE。6、如图，E、F为△ABC中BC边的三等分点，BM是AC边的中线，AE、AF分BM为x、y、z三部分，（x＞y＞z）,求x：y：z。7、在△ABC中，∠A=200,AB=AC,∠DBC=500∠ECB=600,求∠DEC。旋转及旋转变换1.如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为12AAA，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（）A．10cmB．4cmC．72cmD．52cm2.（2003黄冈市）如图4－4－10，把直角△ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AC=3，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线与直线l围成的面积为________．3.如图：已知ABC△中，ABAC，90BAC∠，直角EPF∠的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AECF②APECPF∠∠③EPF△是等腰直角三角形④EFAP⑤12ABCAEPFSS△四边形．当EPF∠在ABC△内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有．4.如图，直线y=33x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转角(0°≤360°)，可得△COD.(1)求点A，B的坐标；(2)当=30°(如图2)，CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分(即四边形OPMN)的面积．CBA2A1A╮30°AA1A3BCC3B1图4－4－10lACFPBE5.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH（图4）（图5）（图6）6.如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合).以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.（1）在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.（2）在旋转过程中,(1)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.GyxOFEDCBA7.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都．请直接．．．写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．8.如图，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图①中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM=DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化，请说明是如何变化的?若不发生变化，求出其面积．(2)继续旋转至如图②的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(3)继续旋转至如图③的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立?若成立，请直接写出结论，不用证明．图①图②图③A·BCDEF··NMFEDCBANMFEDCBA·9.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过B(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，图2中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)（1）（2）（3）10.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值．