例谈TI图形计算器在高中数学(必修)教学上的应用

1例谈TI图形计算器在高中数学（必修）教学上的应用福州第八中学欧阳师章内容提要：高中数学新课标提倡利用现代信息技术整合教与学，TI图形计算器的智能画图、数据处理、编程系统等功能，为学生创设了图文并茂、丰富多彩、人机交互、即时反馈的学习环境，充分激发了学生的积极性、主动性与出创造性。TI的引入优化了学生的认知结构，提高了课堂效率，从而推进了教育信息化工程。关键词：TI图形计算器数学教学问题探究数学教学不仅仅是传授数学知识和基本技能，更重要的是把发现和创造的思维方法交给学生，并从世界观与方法论的高度给学生以启迪，这是科学的教学方法。荷兰数学教育家H.Freudenthal提出数学教学应再现数学知识的发生过程的观点，他指出“通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得理解得更好也更容易保持”。因此数学教学应该是学生在教师的指导下学习数学家的思维活动，即数学教学应是数学活动的过程教学。突出过程，就是强调知识体系的形成过程，强调数学思维方法的形成过程，即数学问题的发现过程，各种解题方法的逐步演变和优化的过程。所以数学实验课的教学就显得非常重要了。因为数学实验不是将现成的结论教给学生，而是根据数学思维的发展脉络，创设问题情境，利用实验手段，设计系列问题，增加辅助环节，从观察、测量、计算到想象、发现、猜想，然后进行理论证明，从而使学生亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方式、方法。而TI图形计算器的参与正好为数学实验课的实施提供了技术保证。TI图形计算器功能强大，其几何绘图系统既可作常规作图，还能进行动态演示，变换，便于展示知识形成过程。它打破了单一的黑板静态教学模式，以动态演示，可控过程及代数研究相结合的形式，直观地表现出问题的数与形关系，也就是利用图形计算器技术可创设精彩的教学情境，以增加教学的直观性和学生的参与性。更重要的是，利用图形计算器可对实验数据进行定性和定量分析，便于学生“做”数学，又可以从图形变换的层次和整体中帮助学生抓住事物的本质，促进学生由形象思维向抽象2思维转化，加强对数学概念的理解。TI图形计算器是基于教师的教和学生的学而专门设计的，它更符合学科教学的要求，更适应学生学习的要求，在TI手持技术的支持下，数学知识的多样化表达方式可以极大地拓展数学学习空间，有力地支持学生的学和教师的教，使高水平的、深层次的数学思维活动获得有力的支持，使学生自主探究式学习成为可能并得到落实，它随时随地的特点使学生更容易发挥其主体作用。TI图形计算器以其操作便捷、相对简单而又功能较齐全的特点，笔者通过学校建立的数学实验室结合教学实践从以下几个方面举例谈谈：一、使用TI技术影响学生的数学知识的形成过程可提高教学效率使用TI图形计算器有利于激发学生的学习兴趣和欲望，心理学告诉我们：“兴趣是人们对事物的选择性态度，是积极认识某种事物或参加某种活动的心理倾向．它是学生积极获取知识形成技能的重要动力．”兴趣之根本在于它是使得学生知识的形成是主动式的，而非传统的被动式形成；其次是使用TI图形计算器更能直观、形象、动态的展示知识的形成过程，在解决某些数学问题时，有利于启迪学生的思维，让学生去寻找解决问题的途径和方法。案例利用TI求超越方程的近似解。TI—图形计算器的图象功能和交点功能可以求出两个函数图象的交点，从而进一步得到两个函数图象的交点的坐标，这为通过数形结合求超越方程的近似解提供技术支持，也为利用二分法求方程的近似解提供技术帮助，同时也培养了学生的数形结合的数学思想，华罗庚先生指出：数缺形时少自觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非.说的正是要求我们在数学教学中多培养学生的数形结合的思想.例1：求方程x=−3lgx的近似解（精确到0.01）.分析：画出两个函数yx和y=-3lgx的图象，其交点的横坐标便是所求方程的近似解，于是通过TI—图形计算器测量其交点坐标进而求得方程的近似解.解法一：①在函数编辑器中输入函数y=x和y=-3lgx并在同一坐标系下画出它们的图象，如图3②在图象窗口下，利用求交点的功能便可以作出函数y=x和y=-3lgx图象的交点，并显示交点的坐标为(0.6198,0.6232)，如图于是所求方程的近似解为x≈0.62.解法二：利用图形计算器的求方程的功能来求解，如图输入方程：可求得方程的近似解为x≈0.62.当然在学生学习了二分法之后，可以借助算法编写程序求出近似解。二分法这个概念在《必修一》函数应用一章中出现，它的理论基础是：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)×f(b)0,则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个零解。二分法是方程求近似解的一种有效的方法，他的思想是确定有解区间[a,b]，然后取区间的中点d，然后利用前面的定理判断零点在[a,d]还是在[d,b]内，然后对左右端点a和b重新赋值。如此反复直到新的有解区间的长度小于给定的误差，然后输出近似解是最后区间的中点。解法三：输入程序，并在程序中执行如图：可求得方程的近似解为x≈0.62.4程序设计如下：这种题型，在传统的教学中，最多只能让学生判断方程的解的个数，而具体的解是什么，则基本上回避.这样给学生有一种隔靴挠痒的感觉，不利于培养学生的探究精神，甚至有时由于手工作图的误差太大，连方程的解的个数也可能会判断失误，而这时我们教师虽然知道学生判断失误，但也不能迅速、准确、直观地给出学生的失误原因.但是利用TI—图形计算器就可以很好地解决这个问题.二、运用TI技术降低难度、突破难点，有利于数学建模数学建模是解决实际问题的基本思路，也就是从实际问题出发，通过认真审题，去粗取精，弄懂题意，联想有关的数学知识，建立相关的数学模型，把实际问题转化为一个数学问题。通过对这个数学问题的求解，然后再回到实际问题中去。数学建模的意识、思路和能力是创新教育的重要组成部分，我们应当强化这种意识和能力。数学建模对于大部分的同学来说是一大难点。运用TI图形计算器技术能有效地解决这一类问题。案例利用TI图形计算器探讨拟合函数模型TI的数据拟合功能十分形象直观，在解决实际问题中，它是一件很好的辅助工具。通过同学们自己动手操作，分析过程中产生的种种问题，思考解决问题的方法，使大家对函数拟合有了更深的认识，同时也感受到了数学的实际应用价值。例1：为了检验X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，PromptA,B,DIF(A+3logA)*(B+3logB)0THENDisp“ERROR”ELSEWHILEABS(A-B)D(A＋B)/2MIF(A+3logA)*(M+3logM)0THENMBELSEMAENDENDDispMEND5每次照射6分钟，照射次数记为t，共照射8次，各次照射后所剩细菌数为y，按负指数规律减少，统计如下：t12345678y35519714210456362115试问：（1）如果照射10次，那么细菌数是多少？（2）如果细菌数控制在4以下，那么至少照几次？学生操作（TI-84plus）：1．输入数据：按[STAT]选中1：EDIT，在L1栏中输入t值，在L2栏中输入y值。2．绘出散点图：按[2nd][STATPLOTS]选中1，选中ON，TYPE选中散点型，XLIST输入L1，YLIST输入L2，MARK选中“□”，按[ZOOM][9]绘出散点图。3．求拟合函数：观察散点的走向，组织学生讨论，同时根据题意，得到散点的分布近似服从指数函数关系。按[STAT]选中CALC，选中ExpReg（指数函数回归）输入L1，L2，Y1，按ENTER键显示拟合函数的表达式，xbay^，03119973.547a，6355225809.0b4．画出函数图象：按[GRAPH]，屏幕出现拟合函数的图象，清楚的看到散点分布在曲线附近。6解答问题：（学生回答）第一小题，y1(10)=5.879258994≈6个。第二小题，由TABLE功能键中发现y1(10)4,y1(11)4，所以至少照11次。例2：经调查某地区一种商品价格和需求的关系如下表：价格（元）0.60.650.70.750.80.850.9需求量（吨）139.6135.4131.6128.2125.1122.2119.5试讨论这种商品价格和需求量之间满足怎样的关系，如果价格上涨到0.99时，销售量为多少？（操作步骤同例2）新的问题：请五位同学分别演示其选择的回归方程图象（线性回归，二次回归，指数回归，对数回归，幂函数回归）通过观察，散点分布都近似的服从这些不同的函数关系，那么如何确定哪种回归方程拟合的更加精确呢？结论：计算离差平方和。回到EDIT数据表格中，将光标移到L3栏，输入L3=Y1（L1）按ENTER，出现一列函数值（即当X分别取第一列中的值时函数Y1（X）的值），在L4栏中输入L4=L2-L3，再利用单变量统计功能计算出五种回归方程的离差平方和，线性回归：1.91714286，对数回归：0.128165914，二次回归：0.027142857，幂函数回归：0.004602481，指数回归：0.992517105。从统计学的角度来分析，离差平方和越小说明数据的离散率越低，则函数拟合的越好，所以幂函数是相对较好的拟合函数，由它预测未知量可信度相对高。本题答案为115.2606833吨。三、运用TI技术有利于优化问题情境利用TI优化组合，动静结合，能更充分地发挥各种媒体深刻的表现力和良好的重现力,它所展现的信息既能看得见，又能自己动手操作，亲身体验,这种多层次的表现力和多样性,有利于启发和培养学生的思维能力，有利于学生对知识的获取和保持。案例利用Ti图形计算器体验模拟试验估计概率及图形面积长期以来,由于我国在数学教育中对概率统计内容的忽视,人们认为数学只能研究确定的对象,得出确定的结论。因此对于随机现象的数学学起来很困难,由其对于频率与概率的理解易于混淆。手动进行随机实验,必然浪费时间、人力、物力。借助TI可以进行数学实验，模拟随机事件的结果，不但可以使学生进行一步理解概率7的意义及频率与概率的区别，而且可以促进学生的创新思维能力的培养，使学生创造性的提出问题，解决问题。例1：在正方形中随机地撒一把芝麻，计算落在圆中的芝麻数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值。教材在几何概型的定义之前先回顾了概率的模拟方法，然后举了向一个由四个小正方形构成的大正方形区域内撒芝麻，求芝麻落在其中一个小正方形内的概率。学生很快的说出了是1/4。但是这道例题的区域不是多边形，这种规律是否还存在呢？教师鼓励同学们用TI图形计算器进行模拟。在同学和老师的探讨中，大家写出了下面的算法：在右图表示的正方形区域ABCD中，边长为1；圆O的半径r＝1。(1)用TI图形计算器产生两个0～1区间的均匀随机数a1＝rand(),b1=rand();(2)经平移和伸缩变化，a=(a1-0.5)×2,b=(b-0.5)×2,则P(a,b)表示平面直角坐标系中的一个随机点，显然这个点会落在正方形区域ABCD内；(3)用1ba22判断这个P点是否在圆O内。统计落在圆内的点数为n，用m表示落在正方形区域ABCD内的点数，计算mn4。程序设计如下：可以发现，随着实验次数的增加，得到的的近似值的精度会越来越高。模拟1000次，试验结果如下：OABCDXYP(a,b)PromptN0M0IWHILEIN(Rand*2-1)A(Rand*2-1)BIFA2+B21THENM+1MENDI+1IENDDisp“M”,MDisp“N”,N(M/N)*4SDisp“S”,S8例2：如图所示，用图形计算器画出曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，(1)统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数;(2)求随意向正方形撒一粒芝麻，芝麻落在区域A内的概率；（3）求区域A的面积。程序