例谈用怎样解题的提示语解高考题以江苏省2009年第20题为例

-1-例谈用“怎样解题”的提示语解高考题——以江苏省2009年第20题为例杨孝斌（西华师范大学数学与信息学院四川南充637002）数学家G·波利亚在他的《怎样解题》一书中，首先给出了著名的“怎样解题表”.在怎样解题表中，波利亚指出：首先“你必须理解题目”.并给出了帮助解题者理解题目的几个基本问题：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？并给出了解数学题的一个基本策略：画一张图，引进适当的符号.理解题意是解题的最重要的环节.波利亚曾多次指出“理解了题意，相当于解决了问题的一半”、“理解了题意，往往能直接找到问题的解法”.理解题意的提示语中最常用的也是最关键的提示语是“它是什么”、“它有什么性质”、“它能如何表示”.这里的它，涵盖题目中的所有对象，包括每一个已知量，每一个未知量，每一个式子，式子中的每一个符号，每一个符号的上标、下标，每一个图形，图形中的每一个元素（点、线、面、体），等等.理解了题目中的所有的“它”，弄清了每一个“它”的性质，并找出这些所有的“它”之间的相互关系，就理解了问题，走出成功解决问题的第一步.除了理解题意的提示语之外，“盯住目标”、“回到定义去”、“你以前见过它吗”、“有什么方法可以利用”，等等诸如此类的，是解题常用的提示语，以下把这些提示语统称为“怎样解题”的提示语.下面我们尝试用“怎样解题”的提示语来解江苏省2009年高考数学的第20题，此题是最后一题（附加题除外），即所谓的“压轴题”.真题回放（江苏省2009年第20题）：.||)(2)(2axaxxxfa为实数，函数设.1)(),()()(3)(21)0(1的解集，直接写出不等式，）设函数（的最小值；）求（的取值范围；，求）若　（xhaxxfxhxfaf此题重在考察函数的概念、性质、图像，以及解一元二次不等式等基础知识，考察灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.该题虽有一定的难度，但所涉及的主要是一些基本概念、基本知识和常用的数学思想方法.下面用“怎样解题”的提示语来分析并解决此题.问题（1）：作者简介：杨孝斌（1979-），男，四川南充人，西华师范大学讲师，南京师范大学博士生，主要从事数学教育研究.江苏省2009年高考数学试卷文理科同卷，分为数学Ⅰ、数学Ⅱ两部分，其中数学Ⅱ为理科附加题.-2-盯住目标！求什么？——的取值范围求a.条件是什么？——1)0(f.)0(f是什么？——)0(f是函数)(xf当0x时的函数值.即：||)()0(aaf.||a是什么？它有什么性质？——)0()0(||aaaaa那么)0(f又可以怎么表示？——)0()0(||)()0(22aaaaaaf2a是什么？它有什么性质？——对任意的实数a，都有02a，于是也有02a.现在怎么办？有什么条件没用到？——回到题目已知条件：1)0(f.要使1)0(f，要满足什么条件？——102aa且.（.002，不满足条件，舍去时，当aa）102aa且，可以如何表示？还可以如何表示？——].1,(110102aaaaaa或所以，所求a的取值范围为：].1,(a问题（2）：盯住目标！求什么？——的最小值求)(xf.条件是什么？——||)(2)(2axaxxxf.类似地，弄清||ax是什么？它有什么性质？——)()()(||axaxaxaxax.那么)(xf可以如何表示？——)()(223)()()(2)(2)(22222222axaxaaxxaaxxaxaxaxxaxxxf.此时)(xf是什么？——)(xf是分段函数，每一段都是一元二次函数.接下来怎么办？有哪些工具可用？——一元二次函数的图像和性质.-3-分两种情况讨论：①2223)(aaxxxfax时，当.)(xf还可以如何表示？——.323323)(2222aaxaaxxxf盯住目标！求什么？——的最小值求)(xf.怎么办？有什么方法可用？——策略：画一张图！图1函数的最小值能取到顶点值吗？如果能，为什么？如果不能，最小值怎么求？——注意：此时讨论的范围是ax.——吗？能取到3ax，需要满足什么条件？能取到为使3ax——3aa，也就是0a.——这说明只要对a分情况讨论一下就可以了.此时，若;2)()(,3,02minaafxfaaa则若.32)3()(,3,02minaafxfaaa则类似地，可以考虑当ax的情形：②.2)(2)(2222aaxaaxxxfax时，当此时，若;2)()(,,02minaafxfaaa则若.2)()(,,02minaafxfaaa则这是一个什么函数图像？——一元二次函数.一元二次函数的大致图像怎么画？要注意什么？——开口方向，对称轴，顶点.开口向上还是下？——上.对称轴是什么？——3ax.3ax怎么画？画在哪个位置合适？——不知道.a是多少？正的还是负的？——不知道.不知道怎么办？——分情况讨论.函数)(xf的图像怎么画？-4-综合①②得：).0(32)0(2)(22minaaaaxf（注：对x分情况是为了去掉绝对值符号，但函数的自变量是x，a是参数，最后要把两种情况综合起来，得出00aa和这两种情况下函数)(xf的最小值.）问题（3）：盯住目标！求什么？——.1)(的解集不等式xh)(xh是什么？——),(23)(22axaaxxxh，.1)(xh怎么表示？——01231231)(2222aaxxaaxxxh.……(*)盯住目标：要求的是什么？——不等式(*)的解集.这是一个什么不等式？——含有参变量a的一元二次不等式.现在该怎么办？有什么工具可以利用？——回忆解一元二次方程和一元二次不等式的相关知识和方法，主要有判别式、求根公式、分解因式等.现在要求根吗？如果要求根，首先要做什么？——首先要判断有没有根？怎么判断？——判别式：.812)1(124222aaa.260a解得令接下来怎么办？——考虑的符号.——0，则不等式（*）恒成立；0，要进一步研究.什么情况下0？——何时08122a？与26a是什么关系？);,(*02626)I(axaa）恒成立，此时只需，不等式（时，或当（注：),(ax是题设条件，解第（3）小题的过程中始终不能忘记这个限制.）02626)II(时，当a.此时怎么办？——重新表示不等式（*）.-5-还可以怎么表示？——求对应方程的根、分解因式：032332322aaxaax于是有：32332322aaxaax或.这就是题目要求的解集么？还有什么条件限制？——注意讨论的范围：),(ax.现在怎么办？——求交集：),(32332322axaaxaax或……（**）.怎么求交集？有什么方法可用？——策略：画一张图！图2a是什么？有什么限制？——2626a.交集如何取？要考虑什么？——a比3232aa大吗？a比3232aa大吗？怎么办？——讨论：a与3232aa的大小关系；a与3232aa的大小关系.由于2626a，对于（**）：22223232aaaa令问：草图怎么画？a、3232aa、3232aa应分别画在什么位置？这张图怎么画？-6-2626a又，则有：①),,(323)26,22(2axaaaa，此时有：时，当②),,323[323]22,22[22aaxaaaa，此时有：时，当③222626263232aaaaa，则有，又令.323323]22,26(22aaaaaaa，当然也有时，当).,323[]323,(22aaaaax此时有：（注：在求x的取值范围的过程中，要反复用到图2，便于直观理解.）以上是用“怎样解题”的提示语解数学题的一个实例，从上述过程中可以看出，利用“怎样解题”的提示语解数学题，可以帮助学生弄清问题中的各个元素，从目标入手，找到已知量、未知量之间的联系，逐步深入问题的核心，从而解决数学问题.这些提示语，看似平淡无奇，但由于其从问题中基本元素的定义和性质出发，往往能帮助学生抓住问题的本质，在解题过程中化繁为简、化难为易.在数学教学中，可以尝试用“怎样解题”的提示语开展教学，利用这些提示语帮助学生理解题意、弄清问题、找到问题的解决办法.学生在教师的示范和引导之下，能够学会用理解题意的提示语解数学题，并将其逐步内化，最终发展成为自己的解题提示语.