信号与系统刘树棠第二版中文答案第2章

Charpt22.21计算下列各对信号的卷积y[n]=x[n]*h[n]:(a):][][][][nunhnunxnn}knnnknkknknknununuknhkxnhnxny][][][)(][][][][*][][1100(c):x[n]=],4[)21(nunh[n]=]2[4nuny[n]=x[n]*h[n]=kknkknuku]2[4]4[)21(所以1)n6时y[n]=434)(8*948118144)21(knnknk2)n22)81(98*44)21(,6nknnknk时2.22对以下各波形求单位冲激相应为h(t)的LTI系统对输入x(t)的响应y(t),并概略画出结果。(a))()(tuetxt)()(tuetht(分别在和下完成)y(t)=x(t)*h(t)=tttttdeedee00)()()0(当)(1)(,)(tueetytt时当)()(,tutetyt时(c)x(t)和h(t)如图P2.22(a)所示。)(*)()(*)()(txththtxtywhent1y(t)=0;when))cos(1(2)sin(2)(,3110tdtyttwhen23)1))(cos(2()sin(2)(,53ttdtyt2.23设h(t)是如图P2.23(a)所示的三角脉冲，x(t)为图P2.23(b)所示的单位冲击串，即kkTttx)()(对下列T值，求出并画出y(t)=x(t)*h(t):(a)T=4(b)T=2(c)T=3/2(4)T=1解答：因为)()(*)(txttx，据此可得(b)T=4时，y(t)=x(t)*h(t)=kktx)4(,如图(a)(c)T=2时，y(t)=kktx)2(,如图(b)(d)T=3/2时，y(t)=kktx)23(如图(c)(e)T=1时，y(t)=kktx1)(,如图(d)2.27定义一个连续时间信号v(t)下面的面积为Av＝dttv)(证明：若y(t)=x(t)*h(t),则Ay=AxAh因为y(t)=x(t)*h(t)=dthx)()(Ay=dtdthxdtty)()()(=hxAAdtthdx*)()(2.28下面均为离散时间LTI系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的，陈述理由(a)h[n]=][)51(nun因果，稳定。n0,h[n]=n)51(收敛。(b)h[n]=]2[)8.0(nun非因果，稳定(c)h[n]=][)21(nun非因果，不稳定。nn)21(,0不收敛2.29下面均是连续时间LTI系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的.陈述理由(a)h(t)=)2(4tuet因果，稳定,2tte4收敛。(b)h(t)=)3(6tuet非因果，不稳定。tet6,3不收敛(c)h(t)=)50(2tuet非因果，稳定。tet2,50收敛2.36考虑一离散时间系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由下列差分方程给出：y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n](a)证明：若该系统满足初始松弛条件（即若nn0,x[n]=0,则nn0,y[n]=0），则它是线性和时不变的。//参考证明：1)证明该式是线性(i)当n＝0n时][]1[)21(][000nxnyny在满足初始松弛条件时][][00nxny显然线性即满足：当][][][02010nbxnaxnx时][][][02010nbynayny(ii)假设在n=k(n0)时满足线性。即当][][][21kbxkaxkx时][][][21kbykayky(iii)当n=k+1时假设：]1[]1[]1[21kbxkaxkx]1[]1[]}1[][)21{(]}1[][)21{(]1[]1[]}[][){21(]1[][)21(]1[]2122112121kbykaykxkybkxkyakbxkaxkbykaykxkyky∴对于,......0nk都满足线性即][]1[)21(][000nxnyny线性2)下证该式移不变当n=n0时y[n0]=x[n0]显然满足线性令k=n-mn0则y[k]=(1/2)y[k-1]+x[k]即y[n-m]=(1/2)y[n-m-1]+x[n-m]亦即满足移不变(b)证明：若系统不满足初始松弛条件，但利用附加条件y[n]=0,那么它不是因果的。证明：∵y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],y[n]=0∴y[n-1]=(-2)x[n]即输出与将来时刻的输入有关，所以非因果。//***姜老师给出的标准答案***P2.36y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],正向递推：y[n0]=(1/2)y[n0-1]+x[n0]=x[n0]；y[n0+1]=(1/2)y[n0]+x[n0+1]=(1/2)x[n0]+x[n0+1];y[n0+2]=(1/2)y[n0+1]+x[n0+2]=(1/2)2x[n0]+(1/2)x[n0+1]+x[n0+2];001020[]()[]nnnnkkynxnk,n=n0另外，已知y[n]=0,nn0所以对x[n]的响应，0010020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunn显式表示线性证明：x1[n]的响应(x1[n]与x[n]具有同样的单边性)，001110020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunnx2[n]的响应(x2[n]与x[n]具有同样的单边性)，001220020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunnx[n]=ax1[n]+bx2[n]的响应，0011010020[]{()([][])}[]nnnnkkynaxnkbxnkunn所以y[n]=ay1[n]+by2[n]TimeInvariance:x[n]的响应，0010020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunn对x[n-m]的响应,0010020[]{()[]}[][]nnmnnmkkynxnmkunnmynm(b)Causalityy[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],正向递推：y[1]=(1/2)y[0]+x[-1]=x[1]；y[2]=(1/2)y[1]+x[2]=(1/2)x[1]+x[2];y[3]=(1/2)y[2]+x[3]=(1/2)2x[1]+(1/2)x[2]+x[3];反向递推：y[n-1]=2y[n]-2x[n]y[-1]=2y[0]-2x[0]=-2x[0]；y[-2]=2y[-1]-2x[-1]=-22x[0]-2x[-1]；y[-3]=2y[-2]-2x[-2]=-23x[0]-22x[-1]-2x[-2]；表明当前输出与将来输入有关，故非因果//2.38对于由下列差分方程描述的因果LTI系统画出它们的方框图表示：(a)y[n]=(1/3)y[n-1]+(1/2)x[n](b)y[n]=(1/3)y[n-1]+x[n-1]2.39对于由下列微分方程描述的因果LTI系统画出它们的方框图表示：(a))(4)()21()(txdttdyty(b))()(3)(txtydttdy2.47已知单位冲激响应为ho(t)的某一线性时不变系统，当输入为xo(t)时，输出为yo(t)，yo(t)如图所示。现在给出下列一组输入和线性时不变系统的单位冲击响应：输入x(t)单位冲激响应h(t)(a)x(t)=2xo(t)h(t)=ho(t)(b)x(t)=xo(t)-xo(t-2)h(t)=ho(t)(c)x(t)=xo(t-2)h(t)=ho(t+1)(d)x(t)=xo(-t)h(t)=ho(t)(e)x(t)=xo(-t)h(t)=ho(-t)(f)x(t)=x’o(t)h(t)=h’o(t)[这里x’o(t)和h’o(t)分别为xo(t)和ho(t)的一阶倒数]在每一种情况下，判断当输入为x(t)，系统的单位冲激响应为ho(t)时，有无足够的信息来确定输出y(t)。如果有可能确定y(t)，请准确地画出y(t)并在图上表明数值。(a)∵x(t)=2xo(t),h(t)=ho(t)∴y(t)=2xo(t)*ho(t)=2yo(t)(b)∵x(t)=xo(t)-xo(t-2),h(t)=ho(t)∴y(t)=yo(t)-yo(t-2)(c)∵xo(t)*ho(t+1)=yo(t+1),xo(t-2)*ho(t+1)=yo(t-1)∴y(t)=xo(t-2)*ho(t+1)=yo(t-1)(d)∵y(t)=x(t)*h(t)=dthxdthx)()()()(0000∴已知条件不足以确定y(t).(e)∵x(t)*h(t)=)()()()()(00000tydthxdthx(f)∵y(t))()(*)(''0'0'0tythtx2.53(c)用给出的附加条件解下列齐次微分方程：(i)2)0(,0)0(,0)(2)(3)('22yytydttdydttyd解：,2,1;023212ssss∴y(t)=ttBeAe2由y(0)=0,2)0(y可得A=2,B=-2,∴tteety222)((ii)1)0(,0)0(,0)(2)(3)('22yytydttdydttyd解：2,1;023212ssss∴y(t)=ttBeAe2由y(0)=1,1)0(y可得A=1,B=0,∴y(t)=te