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(第1页共4页)湘潭大学20年学期级《代数结构与初等数论》试卷(A卷)适用年级专业考试方式闭卷考试时间120分钟学院信息工程学院专业计算机科学与技术班级学号姓名题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分………………………………………………………………………………………………………………一、单项选择题(共20分,每小题2分)1、设,ab都是整数。于是,若|,|,abba且则()。Aab;B.ab;C.ab;D.ab。2、质数p和整数(1)a互质当且仅当()。Aap;B.pa;C.ap;D.ap|。3、6阶群的子群不可能是()群。A2阶;B.5阶;C.3阶;D.6阶。4、下列运算中在自然数集合N上可结合的是()Amax{,}abab;B.2abab;C.abab;D.abab。5、设Q为有理数集,在Q上定义运算*为ababab。于是,Q,*的幺元是()。Aa;B.0;C.b;D.1。6、设H和K都是G的子群。于是,()也是G的子群。A.HK;B.HK;C.H-KD.HK。7、设G是非空有限集合,若定义在G上的乘法运算是封闭的且满足结合律和消去律,则G()。A.不一定是群;B.一定不是群;C.一定是群。8、对于任意一个环R,在R中()。A.有零元并且有幺元;B.有零元但不一定有幺元;C.有零元无幺元;9、设S={1,2…,100},x,yS,下面定义的运算关于集合S封闭的是()。A.xy=x+y;B.xy=x除y的余数;C.xy=max{x,y};D.xy=x,y的最小公倍数。10、设〈L,〉和〈L,,〉是两个等价的格,x,yL。于是xy=y当且仅当xy=x当且仅当()。A.xy;B.xy;C.yx;D.yx。得分制卷人签名:制卷日期:审核人签名::审核日期:………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………装……………………订……………………线…………………………………………………………………(第2页共4页)二、填空题(共20分,每个空格1分)1、设S是非空有限集,代数系统(),,S中,关于运算的幺元为,零元为。2、当有限群的阶为时,它无非平凡子群。3、设Z是整数集,则循环群Z,+的生成元为和,周期均为。4、无限循环群共有个生成元,若一个生成元为a,则另一个为。5、任何质数阶的群必是群,并且其子群必是。6、设R是一个环,若R除自己和(0)外没有别的理想,则R称为环。7、设H是群G的子群,a,bG。于是,任意两个左陪集aH和bH或者,或者。8、若R是一个环,则R对它的乘法不可能作成一个群。因为。9、设〈L,,〉是一个代数格,于是,运算和满足结合律、和。10、设〈L,〉是有界格,a,bL,若a和b互为余元素,则有ab=和ab=。11、循环群33,Z的生成元为和。三、判断题(共20分,每小题2分。你认为正确的请在题后的括号内打“√”,否则打“×”)1.若a和b互质,而bca|,则必有ca|。()2.若b和naaa,,,21都互质,则b和12naaa不一定互质。()3设a、b、c是整数,且)(modmbcac,于是,)(modmba()4.设a、b、c是整数。若0c且)(modmcbcac,则)(modmba()5域必是整环,但整环不一定是域。()6无限循环群的所有子群都是无限循环群。()7设H是G的正规子群,于是,对任意的aG,hH,有ah=ha成立。()8设R是实数集,“”是数值间的小于等于关系,S={xR|0x1},于是,〈S,〉是一个格。()9设〈L,〉是任意一个有限格,于是,L的任意非空子集S都有一个最大下界和最小上界。()10设〈L,〉是一个有余格,于是,L中的每一个元素恰有一个余元素。()四、简答题(共20分)1、解同余方程58(mod11)x(4分)根据得分得分得分(第3页共4页)2、设Q为有理数集,在Q上定义运算为:ababab,其中,“+”和“-”为普通数的加、减运算。请回答以下问题(6分,每小题2分):(1)求代数系统,Q中的幺元eQ,即对任意xQ,满足exxex的e。(2)求,Q中元素a的逆元(若存在),即满足abbae(幺元)的b。(3)试计算22(3);53。3、设5422221)(xxxxxf和21)(xxg为域}2,1,0{3R上的多项式。试列出)(xf被)(xg除的竖式并给出商式()qx和余式()rx。(4分)(第4页共4页)4、设G是非零实数集合,在G上定义的运算为数的普通乘法。请指出下述映射()fx哪些是G到G的同态映射,并给出其同态核ker(f)。(6分,每小题1分)(1)()fxx(2)()2fxx(3)2()fxx(4)()fxx(5)()1fxx(6)1()fxx五、证明题(共20分,每小题5分)1、设N为自然数集合,2{,6,24}AnnNnn且。试证明集合A关于整数的加法运算“+”是封闭的。2、设H是群G的子群,令1{,}KxxGxHxH。试证:K是G的子群。3、设偏序格〈L,〉与代数格〈L,,〉等价。试证明:对任意,,abcL,若bc则abac。4、求证:在格,,L中,若,cabacba则cabacba得分
本文标题:代数结构与初等数论2014下试卷A
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