借一道中考数学压轴题谈数学中考压轴题教学策略

借一道中考数学压轴题谈数学中考压轴题教学策略泰州市民兴实验中学初中部王济群【文章摘要】近年压轴题的特点和压轴题的命题趋势，我认为我们教师平时在中考复习教学中，要狠抓基础知识的落实，因为基础是“不变量”，“热点”只与题目的形式有关。我们要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，进一步强化数学思想方法的渗透。根据我们以往的经验，学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，学生自身的问题如：基础知识和基本技能的欠缺、解题方法的缺失或专题训练程度不够、思想方法领悟不到位、自信心不足等；教师教学因素问题有：就题讲题、讲解不透、不能举一反三、不能变式反馈训练以及思想方法提炼不到位等。【关键词】注重专题训练基本模型的训练变式训练题目分析方法数学中考压轴题的设计特点是知识覆盖面大、综合性强、解法灵活特殊。在课程改革不断向前推进形势下，全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。丰富多彩的、公平向上的背景、精巧优美的结构，思想方法性强，贴近生活、关注热点、一题多问、关系紧密、层层递进。绝大多数压轴题均以综合题的形式呈现，由易到难设置3到4个问题，问题间的联系程度紧密，区分度非常明晰，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台。真正体现新课标的理念，不同的学生在数学上有不同的发展。下面我就以2010泰州市中考压轴题为例，浅谈应对中考压轴题的教学策略。题目:在平面直角坐标系中，直线ykxb（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为5个单位长度．⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线ykxb上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若12k，直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．ABDCOPO审题分析：本题以圆、直线形、函数、方程为背景，第（1）问我们觉得学生还是比较容易上手，切入点容易找到。起点还是比较低，可以用待定系数法求解k或抓住与特殊直线(二四象限的角平分线)y=-x平行求k第（2）问题由条件两切线的夹角为直角，去求P点坐标，条件是“形”问题是“数”。相比（1）问，问题得以深化难度有所提高，有些学生无从下手。实际上首先需要作出常规辅助线OD,且PC⊥PD可推出P与O,D构成了等腰直角三角形，此时可求出PO长为定值。由P点作坐标轴垂线构造RT△，用勾股定理列方程解决。第（3）问：可将问题拆分成几个基本图形，关键是求出直线与坐标轴截距的比为定值及弦心距为定值。借助相似或三角函数求解直线与y轴截距，从而求出b值。解题过程：⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=12∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，∴OD＝PD＝5，OP=10.∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，∵∠PFO=90°，OF2＋PF2＝PO2，∴m2＋(－m＋4)2＝（10）2，解得m=1或3，∴P的坐标为（1，3）或（3，1）(2)分两种情形，y＝－12x＋54，或y＝－12x－54。直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=52，又∵直线ykxb中12k∴直线与x轴交角的正切值为12，即12OCAC，∴AC=5，进而可得AO=52，即直线与与x轴交于点（52，0）．所以直线与y轴交于点（54，0），所以b的值为54．当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为54．综合以上得：b的值为54或54．总结提升：本题突出了对坐标、一次函数、切线性质、切线长定理、勾股定理、一元二次方程等基本知识基本知识及一些基本技能的考察；注重了数学思想的渗透，主要有转化思想、数形结合、函数及方程思想、分类讨论思想等。（2）（3）问看似感觉困难重重，但若将他们分解成一个个小问题，实际并不难。分解1：如图1:已知⊙O的半径为5，P为圆外一点，PC,PD为圆的两条切线，切点分别为C、D，且PC⊥PD，求PO的长。分解2：如图2：已知直线y=-x+4与x,y轴分别交于A,B两点，P为直线AB上一动点，(1)设P点的横坐标为m，请用m的代数式表示P点的纵坐标。(2)若PO=10,求P点的坐标。分解3：如图3：已知直线y=bx21(b≠0)与x、y轴分别交于F、E,说明：不论b为何值OFOE总为定值。图3图4图5DCOPABOP图1图2FEOAOBHOBA分解4：如图：已知⊙O的半径为5，直线AB分圆为1:2两部分，求圆心到直线AB的距离。分解5：如图：已知RT△ABO，∠AOB=90°OB=1，OA=2，OH⊥AB于H，且OH=25,求OB长5个小问题的一一分解，解题思路一目了然，学生轻松应对，而且也学会了面对压轴题的解决方法，提高了自信心。在教学时，我们还要注意学生在理解这道题思想方法后，不能就此划上句号，应适当的进行变式反馈训练，以加深印象，熟练技能，培养创新能力。由上述中考题的讲解及近年压轴题的特点和压轴题的命题趋势，我认为我们教师平时在中考复习教学中，要狠抓基础知识的落实，因为基础是“不变量”，“热点”只与题目的形式有关。我们要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，进一步强化数学思想方法的渗透。根据我们以往的经验，学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，学生自身的问题如：基础知识和基本技能的欠缺、解题方法的缺失或专题训练程度不够、思想方法领悟不到位、自信心不足等；教师教学因素问题有：就题讲题、讲解不透、不能举一反三、不能变式反馈训练以及思想方法提炼不到位等。为了应对中考压轴题，使不同的层次学生都能在压轴题上有所收获，本人谈以下几个方面的建议，供大家在复习备考教学中参考：1、注重专题训练中考复习的第二阶段的任务应该是解题经验的积累。一般将初中内容划分若干个专题进行横向复习。还可以以中考的热点为专题进行复习。第二轮复习还是以知识专题为主要内容，新题型专题不能游离于知识复习之外。但必须进行一定的有针对性的新题型的训练，让学生熟悉主干知识之间是如何进行整合的，如何寻找解决问题的策略。比如动态性题型，是近年来的中考热点，特别是压轴题。那么，我们解决动态问题要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，识别动态中的静态，静态中的动态，抓住变化中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型求解。动态性问题分质点运动（单质点和两质点运动）、图形变换（图形平移、旋转、翻折、综合变换）、应用性问题、探索性问题、开放性问题等，我们都要根据其特点做好专题训练。把握每种题型的基本解题策略。指导学生弄清问题的本质，找准问题的切入点，这才是我们专题复习的本质。切不可将题型专题复习游离于知识之外，应该将两者有机结合。2、加强对基本模型的训练在数学学习过程中，课本上一些定理基本图形和根据课本知识经过二次加工得出一些长久的有保存价值的典型题型或重要类型，我们称为基本模型。如涉及到平行线、角平分线、等腰三角形条件的基本模型等，垂径定理、切线长定理、直角三角形斜边上的高等等基本图形。在教学中我自己总结并借鉴前人经验把一些基本模型、基本辅助线汇编成口诀，让学生去学习。当我们遇到新问题时首先确认它是我们掌握的哪种基本模型，然后确定相应的解题方法，这是我们解题的基本思考方式，也是我们解中考题的基本策略。比如在上题教学中，我注重引导学生学会把这道题分解成了五个基本模型，学生理解起来很轻松。我们平时学习的过程更多的也是模式积累的过程，中考复习的过程更是强化基本模型的过程。我们不能认为模型的积累会僵化我们的思维。创新的思维，开放的思维应该是在大量的基本模型积累、比对中的自然升华。中考解题就是把不熟悉的问题转化为课本上已经解决了的问题；转化为历年中考试题。历年的中考试题告诉我们，绝大多数中考题都来自于我们平时教材上学习的内容，都来自于我们以往中考试题的变形，都是能够利用通性通法来解决的。试卷上的基础题可能是一些简单的基本模型，而综合题或者压轴题可能是几种套路的有机组合而成。根据中考要求，学生对基本模型应该达到直接用、转化用、综合用三个不同层次，就是所谓的了解、掌握、灵活运用三个层次。所以，我们在平时的复习训练中，特别是在第二阶段的复习中就要加强基本模式的训练，有意识的进行模式间的组合，再组合，逐步提高的层次，不断进行基本图形的组合，使我们的基本模式变成综合模式；还要引导学生注意把综合模式分解为几个简单基本模式，对题目进行拆分、组合，让学生了解题目本质，使他们解题技能不断提高。3.注重变式训练所谓变式训练是指在数学教学过程中，对概念、性质、定理、公式以及问题从不同角度、不同情形、不同背景做出有效变化，使其条件或结论的形式发生变化而本质特征却不变，即所谓的“万变不离其宗”。变式主要类型有：概念的变式训练；公式、法则、定理变式训练；题目形式的变式训练；解法的变式训练（多题一解一题多变）。进行变式的主要方法有：变换条件或结论；条件一般化；联系实际进行变式。例如上题的第(2)问可作如下变式：①变换问题：求△PCD为等边三角形P点坐标。②变换条件和结论：去掉PC⊥PD，求切线长PC的最小值并求此时P点位置。③对调条件与结论：若已知P(1,3)请同学们证明：PC⊥PD。第（3）问可作如下变式：若b=，其他条件不变，求直线与圆的两交点与圆心构成的三角形的形状。通过变式训练学生掌握的深刻，思维得到了发散。实践证明，变式训练教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式，能有效的培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵活性，还能帮助学生从题海战术中解脱，切实减轻学生负担。4、注重题目分析方法数学主要的分析方法有综合法和分析法，但往往有些难题你用综合法直接推很困难，找不到头绪往哪推。分析法逆推吧，又找不到需要的条件。这时我们就应该尝试两者结合的方法，即所谓的综合分析法。题目的条件和结论之间一般有一段距离称为目标距离，那么解题实质就在于设计不断缩小目标距离的过程。使用这种方法可以解决从哪儿下手，向哪儿前进的问题。有的同学不知如何下手，就是不会找目标距离，运用综合分析可以一边用条件创造出一些新结论，再对照结论寻求需要哪些条件，逐步缩小目标距离，从而最终实现对接。对一些新题型或者综合性较强的题目，用这种方法思考常常有效。例如上题的第（2）问条件是两切线的夹角90°，结论是求P点坐标，要求坐标一般要向坐标轴作垂线构造直角三角形，求两直角边长。P点在y=-x+4上可设出P点坐标，用一个未知数表示两条边，但要想求出直角边，问题转化为必须要知道斜边PO的长。怎么求？那我们再结合条件两切线的夹角90°，又能推出什么呢？能实现求出PO长吗？借助切线长定理及两条切线夹角90°，可以推出△POD为等腰直角三角形，从而可以实现求PO。目标距离逐渐减少，直到完全对接。寻找条件与结论之间的差异，进行比对，问题的思路豁然开朗。其实综合分析法也是一种使用非常广泛的解题策略，不仅压轴题，一般我们做题都用此方法打通条件与结论之间的通路，然后用综合法去陈述我们的解答过程。5.注重数形结合思想的渗透。425著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这句话就说明了数形结合的必要性和重要性。所以在平时的解题教学中，我们既要利用数的抽象性质来说明几何形象的事实，又要用图形的直观性质来说明代数的抽象事实，在数与形的双向结合上寻找解题思路。这是最常见也是最重要的解题思想。不只在中考时，更主要在平时的训练中就要学生学习好这种思想，掌握这种方法，成为一种熟练的成型的技能。以上问题的也很好渗透了数形结合思想，第二问的问题条件是位置关系（形），求解的结论是P点坐标（数）。这就需要我们同学具备把形转化为数的能力。针对上题第（2）问，在讲解该题时，教师还可调换第二问的条件和结论：若已知P(3,1)请