假期辅导高中数学选修2-2

第一章导数及应用函数的平均变化率1.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为2121()()fxfxxx。例1、已知函数2()fxx，分别计算()fx在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；瞬时变化率—导数1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为0101)()(xxxfxfkPQ，设x1－x0=△x，则x1=△x＋x0，∴xxfxxfkPQ)()(00当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，xxfxxfkPQ)()(00无限趋近点Q处切线斜率。2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：xxfxxfk)()(00，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。数学应用例1、已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。变式：.求21()fxx过点(1,1)的切线方程导数的概念是什么？变化趋势时割线，趋近于点沿着曲线，，，，当点nnnnPPxfxPxfnxfxp))(()()4321))(((00的斜率无限接近与切线的斜率割线PTkPPnn)()()(lim)()(lim'000000xfxxfxxfxxxfxfkxnnx注意：.01斜率处的切线的的斜率为曲线在点割线时，，那么当）设切线的倾斜角为（PPPxn.2点的导数的斜率可以求该）求曲线上某点的切线（.3函数在该点的导数—）切线的斜率（导数的几何意义：.)(0数在该点时的导数处的切线的斜率就是函在函数xxxfy曲线在某点的切线.3..2.1可以有多个甚至无数个不一定只有一个交点，）曲线的切线与切线并（则不存在切线，切线且唯一；若无极限如有极限，则在此点有限位置来判断与求解）要根据割线是否有极（）与该点的位置有关（.)21(1)(.12处的切线方程，在点求曲线例Pxxfy练习处的切线方程为，在点）函数（)221(11xykAxxy处的斜率，，求曲线上点）已知（)21(322导函数的定义.)()()()()(''''0yxfxfxxfxxfxxxf或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数xxfxxfyxfx)()(lim)(0''即注意.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（xf.2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x.)()(30'0处的函数值在处的导数就是导函数在）函数（xxxfxxf.]72(1.22处的斜率，的导数，及在求函数例xxy常见函数的导数1、基本初等函数的求导公式：⑴()kxbk(k,b为常数)⑵0)(C(C为常数)⑶()1x⑷2()2xx⑸32()3xx⑹211()xx⑺1()2xx由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻1()xx（为常数）⑼()ln(01)xxaaaaa，⑽aa11(logx)loge(01)xxlnaaa，且⑾xxe)(e⑿x1)(lnx⒀cosx)(sinx⒁sinx)(cosx－（我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。）例1、求下列函数导数。（1）5xy（2）xy4（3）xy3log（4）y=sin(2+x)(5)y=sin3（6）y=cos(2π－x)例2：点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。例3.若直线yxb为函数1yx图象的切线,求b的值和切点坐标.变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.变式2:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程变式3:已知直线1yx,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.函数的和、差、积、商的导数法则1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即()()''()'()fxgxfxgx法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．()'()'cfxcfx法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即()()''()()()'()fxgxfxgxfxgx法则4两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx例1求y=x2+sinx的导数.2、求2(23)(32)yxx的导数．3、求下列函数的导数⑴()sinhxxx⑵21()tstt4、y=5x10sinx－2xcosx－9，求y′5、求y=xxsin2的导数.变式：(1)求y=332xx在点x=3处的导数.(2)求y=x1·cosx的导数.例2求y=tanx的导数.变式：已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式练习：1.求下列函数的导数：(1)y=xaxa(2)y=232xx(3)y=xcos11导数的应用1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y0时，函数y=f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x)在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.例3用导数方法证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数.y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜021fx=x2-2x+4xOy21fx=2x3-6x2+7xOy例4已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.四、课堂练习：确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(3)y=xx2函数的极值1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值5.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()fx(2)求方程/()fx=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值三、范例：例1求y=31x3－4x+31的极值例2求y=(x2－1)3+1的极值练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x函数的最大值与最小值1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与3()fx是极小值，2()fx是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()fx．一般地，在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)ab内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(xf在ba,上连续，在(,)ab内可导，则求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在ba,上的最值x3x2x1baxOy例1求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值例2已知23()logxaxbfxx,x∈(0,+∞).是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，说明理由.练习：1.函数y=234213141xxx，在［－1，1］上的最小值为______2.求函数y=122xxx的最大值定积分1．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常