阿基米德三角形

阿基米德三角形及其性质阿基米德三角形名称的由来抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3．ABP引理CDN引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD，AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证：P、N、M三点共线，且PM=4PN。引理CDNM1引理2：弓形APB的面积是△APB面积的4/3倍。引理3：P为线段QM的中点。阿基米德三角形的性质性质1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，M为弦AB中点，则过A的切线方程为11()yypxx，过B的切线方程为22()yypxx，联立方程组得1122211222()()22yypxxyypxxypxypx解得两切线交点Q(122yyp，122yy)，进而可知QM∥x轴.阿基米德三角形的性质性质2QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行．证明：由性质1知Q(122yyp，122yy)，M1212(,)22xxyy，易得P点坐标为21212()(,)82yyyyp，此点显然在抛物线上；过P的切线的斜率为121222ppyyyy=ABk，结论得证．性质3如图，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI与抛物线所围面积为1S，AI与抛物线所围面积为2S，AB与抛物线所围面积为S，则123322ABIQABQSTSSSSS=12333222QSTSSSS=123()2QSTSSSS=32ABIQSTSS，∴ABIS2QSTS．阿基米德三角形的性质2012年江西卷理科第20题已知三点(0,0),(2,1),(2,1)OAB，曲线C上任意一点M（x，y）满足||()2MAMBOMOAOB．（1）求曲线C的方程；（2）动点00(,)Qxy（022x）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l．问：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．解题方法研究解：（1）依题意可得(2,1)MAxy，(2,1)MBxy22||(2)(22),()(,)(0,2)2MAMBxyOMOAOBxyy由已知得22(2)(22)22xyy，化简得曲线C的方程：24xy（2）假设存在点P（0，t）（t0）满足条件，则直线PA的方程是12tyxt，直线PB的方程是12tyxt，曲线C在点Q处的切线l的方程为200,24xxyx它与y轴的交点为20(0,)4xF，由于022x，因此0112xxyOABPFDEQ解题方法研究①当10t时，11122t，存在0(2,2)x，使得0122xt，即l与直线PA平行，故当10t时不符合题意②当1t时，00111,12222xxtt，所以l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组2200001122,2424ttyxtyxtxxxxyxyx，解得D，E的横坐标分别是22000044,2(1)2(1)DExtxtxxxtxt则202204(1)(1)EDxtxxtxt，又20||4xFPt，解题方法研究有220220(4)11||||28(1)PDEEDxttSFPxxtx，又2200414(1)242QABxxS于是22200220(4)[(1)]41(4)QABPDESxxtStxt42220042200[4(1)]4(1)41816xtxttxtxt对任意0(2,2)x，要使△QAB与△PDE的面积之比是常数，只需t满足2224(1)84(1)16tttt，解得t=-1，此时△QAB与△PDE的面积之比为2，故存在t=-1，使△QAB与△PDE的面积之比是常数2。阿基米德三角形的性质性质4若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线．证明：设Q(x，y)，由性质1，x=122yyp，y=122yy，∴122yypx由A、B、C三点共线知10122221210222yyyyyyyxppp，即21121020yyyyxyx2102ypy，将y=122yy，122yypx代入得00()yypxx，即为Q点的轨迹方程.l阿基米德三角形的性质性质5抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹．利用两式相减法易求得以C点为中点的弦的斜率为0py，因此该弦与Q点的轨迹即直线l平行．阿基米德三角形的性质性质6若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l方程为0axbyc，且11(,)Axy，22(,)Bxy，弦AB过点C00(,)xy，由性质2可知Q点的轨迹方程00()yypxx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得00,cbpxyaa，即弦AB过定点C（ca，bpa）.l阿基米德三角形的性质性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p．证明（2）：若底边过焦点，则00,02pxy，Q点轨迹方程为2px即为准线；易验证1QAQBkk，即QA⊥QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点；∴|QM|=122xx2p=22124yyp+2p≥122||4yyp+2p=224pp+2p=p，而121||()2QABSQMyy≥12||||QMyy≥2p题型类比拓展题3（2007江苏卷，理19题）：如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于AB，两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于点PQ，．（1）若2OAOB，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．ABCPQOxyl阿基米德三角形的性质性质8底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap．证明：|AB|=a，设Q到AB的距离为d，由性质1知1212||22xxyydQMp221212244yyyypp=212()4yyp，设直线AB方程为：xmyn，则2221(1)()amyy，∴221()yy≤2a，∴d24ap，即S=12ad≤38ap.阿基米德三角形的性质性质9在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB．证明：如图，作AA'⊥准线，BB'⊥准线，连接QA'、QB'、QF、AF、BF，则1'FAykp，显然'1FAQAkk，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，∴△QAA'△QAF，∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA，同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB，∴|QA'|=|QB'|，即∠QA'B'=∠QB'A'∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B,∴∠QFA=∠QFB，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.题型类比拓展题1（2005年江西卷，理22题）：如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.xyOABPFl题型类比拓展题2（2006全国卷II，理21题）：已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM→·AB→为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．阿基米德三角形的性质性质10|AF|·|BF|=|QF|2．证明：|AF|·|BF|=12()()22ppxx=21212()24ppxxxx=212()2yyp+22124yy+24p，而|QF|2=221212()()222yyyypp=212()2yyp+22124yy+24p=|AF|·|BF|.阿基米德三角形的性质性质11在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在准线上．证明：设211(2,2)Aptpt、222(2,2)Bptpt、233(2,2)Iptpt，易求得过B、I的切线交点T2323(2,())pttptt，过T向QA引垂线，其方程为1231232()4txypttpttt，它和抛物线准线的交点纵坐标123123()4yptttpttt，显然这个纵坐标是关于123,,ttt对称的，因此从S点向QB引垂线，从Q点向ST引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．