人教版初二数学等边三角形教案

1/9等边三角形（一）活动1：回顾：什么是等边三角形？它与以前学过的等腰三角形有何关系？三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形。活动2：复习等腰三角形的性质，探究等边三角形的性质完成表格，得出性质：名称图形边角重要线段对称性等腰三角形两腰相等两个底角相等顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合轴对称图形等边三角形三条边相等三个角相等，且都为60°每条边上的中线、高和它所对角的平分线都互相重合轴对称图形，有三条对称轴活动3：1、复习等腰三角形常用的判定方法（1）两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）等角对等边。2、思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？一般三角形等边三角形等腰三角形小结等边三角形常用的判定方法：边：三边相等的三角形是等边三角形角：三角相等的三角形是等边三角形边角：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形活动4：例题：如图，△ABC是等边三角形，若点D、E分别在AB、AC上，当点D、E满足什么条件时，△ADE是等边三角形？请说明理由。延伸：（1）当DE∥BC时，若点D、E分别在AB、AC的延长线上，结论依然成立吗？（2）当DE∥BC时，若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，结论依然成立吗？活动5：问题：等边三角形的三条中线一定交于一点吗？探究：等边三角形三条中线相交于一点，画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。2/9BCDEFO等边三角形（二）一、猜测：问题：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边与斜边数量上有怎样的关系?二、探究：如图，将两个含有30°角的三角板放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABD的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗？理由如下：∵△ABD与△ADC关于AD轴对称∴AB＝AC△ABC是等边三角形又∵AD⊥BC∴BD＝DC＝1/2AB总结：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何语言：在Rt△ABC中（∠C＝90°)∵∠A＝30°∴AC＝2BC(BC=1/2AC)三，练一练（1）在Rt△ABC中，如果∠BＣＡ＝９0°，∠A＝30°AB=4，求BC之长。（2）在Rt△ABC中，如果∠BＣＡ＝９0°，∠B＝60°AB=4，求BC之长。（3）在Rt△ABC中，如果∠BＣＡ＝９0°，∠B＝60°BC=4，求AB之长。(4).在Rt△ABC中，∠BＣA＝９0°，∠B＝2∠Ａ，问∠B、∠A各是多少度？AB=4,求BC的长。四．例题下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=12AD，BC=12AB，又由D是AB的中点，所以DE=14AB．(1)DCABACABDCAEB3/9解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知BC=12AB，DE=12AD，所以BD=12×7.4=3.7（m）．又AD=12AB，所以DE=12AD=12×3.7=1.85（m）．答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．五．练习：1、三角形三内角度数比为1：2：3，它的最大边长是4cm，则最小边长为2、等腰三角形的顶角为60°，底边长为8cm，则腰长为3、等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形面积是4、等腰三角形的底角为15°，腰长为2cm，则腰上的高为。5、△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=3cm,则AB=.课堂检测：已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，求BC的长。等边三角形（三）1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等2．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.补充：已知如图所示,在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于B,∠ABC=120o,求证:AB=2BCCABDC4/9证明:过A作AE∥BC交BD的延长线于E∵DB⊥BC(已知)∴∠AED=90o(两直线平行内错角相等)在△ADE和△CDB中)()()(已知对顶角相等已证CDADBDCADECBDE∴△ADE≌△CDB(AAS)∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)∴∠ABD=30o在Rt△ABE中,∠ABD=30o∴AE=21AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半)∴BC=21AB即AB=2BC点评本题还可过C作CE∥AB等腰三角形与等边三角形复习一、知识回顾1、等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形。2、等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。3、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。4、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°二、典型例题例1：（2010•江津区）如图，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞6分析：根据三角形的三边关系定理来确定腰长x的取值范围．解答：若△ABC是等腰三角形，需满足的条件是：B5/96-x＜x＜6+x，解得x＞3；故选B．例2：有两边相等的三角形的两边长为3cm，7cm，则它的周长为（）A．15cmB．17cmC．13cmD．17cm或13cm分析：分情况考虑：相等的两边是3cm时或相等的两边是7cm时．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断能否组成三角形后，再进一步计算其周长．解答：当相等的两边是3cm时，此时3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当相等的两边是7cm时，此时能够组成三角形，则其周长是7+7+3=17（cm）．故选B．例3：（2010•宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个分析：由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得．解答：设CE与BD的交点为点O，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2=72°，∵BD是∠ABC的角的平分线，∴∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC=36°=∠A，∴AD=BD，同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE，∵∠DBC=36°，∠ACD=72°，根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°-72°-36°=72°∴BD=BC，同理CE=BC，∵∠BOC=180°-36°-36°=108°，∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°，∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个．故选D．6/9例4：已知：如图，△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°，那么△ADC≌△AEB的根据是（）A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边分析：根据判定方法寻找条件判断．解答：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴DA=BA，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC．∴△ADC≌△AEB．（SAS）故选B．例5：如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A．30°B．45°C．120°D．15°分析：根据直角三角形的判定得△ABE是直角三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解．解答：设∠B=x∵BD=AD则∠B=∠BAD=x，∠ADE=2x，∵AD=AE∴∠AED=∠ADE=2x，∵AE=EC，∠AED=∠EAC+∠C∴∠EAC=∠C=x又BD=DE=AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE=90°，则∠B+∠AED=x+2x=90°得x=30°∴∠BAC=180°-2x=120°故选C．例6：已知△ABC≌△DEF，若∠A=60°，∠F=90°，DE=6cm，则AC=（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm分析：由△ABC≌△DEF，∠F=90°，DE=6cm，根据全等三角形的性质，即可求得∠C=90°，AB=6cm，又由∠A=60°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B=30°，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AC的长．解答：∵△ABC≌△DEF，∠F=90°，DE=6cm，∴∠C=∠F=90°，AB=DE=6cm，∵∠A=60°，∴∠B=30°，∴AC=1/2AB=3cm．7/9故选A．例7：如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能成立的是（）A．DE=ACB．DE⊥ACC．∠CAB=30°D．∠EAF=∠ADF分析：已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、△BAC全等，可根据这个条件进行判断．解答：∵EA=AB=2BC，AB=2AD，∴AD=BC；又∵EA⊥AB，BC∥EA，即∠EAD=∠B=90°，∴Rt△EAD≌Rt△ABC，∴DE=AC；又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角，∴∠EAF=∠ADE；故A、B、D的结论都正确；Rt△CAB中，AB=2BC，显然sin∠CAB≠1/2，所以∠CAB≠30°，因此C的结论是错误的；等腰以及等边三角形练习题一.填空题第1题第3题第4题第7题第8题1.已知如图，A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD,∠C＝40°,则∠ABD＝__________________2.在等腰△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,且AB＋AC＋BC＝50cm,而AB＋BD＋AD＝40cm,则AD＝___________cm.3.如图,∠P＝25°,又PA＝AB＝BC＝CD,则∠DCM＝_______度.4.如图已知∠ACB＝90°,BD＝BC,AE＝AC,则∠DCE＝__________度.二.单选题5.下列命题正确的是[]A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何一角都是轴对称图形6.等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于［］A.顶角B.顶角的21C.顶角的2倍D底角的217.如图,在△ABC中,AB＝AC,CD⊥AB于D,则下列判断正确的是［］A.∠A＝∠BB.∠A＝∠ACDC.∠A＝∠DCBD.∠A＝2∠BCD8.如图已知:AB＝AC＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足［］A.∠1＝2∠2B.2∠1＋∠2＝180°C.∠1＋3∠2＝180°D.3∠1－∠2＝180°8/9EDCABF21EDCAB三.证明题9.已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC10.如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.11.如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC,DE⊥AB．求证：AE=BE．12.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．