人教版数学必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一)

人教版数学必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一)第1页(共4页)§2.1数列的概念与简单表示法(一)【对点讲练】一.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式【例1】根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7,－13,19,…(2)0.8,0.88,0.888,…(3)12,14,－58,1316,－2932,6164,…(4)32,1,710,917,…(5)0,1,0,1,…分析先观察各项的特点,然后归纳出通项公式.【解答】(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*).(2)数列变形为89(1－0.1),89(1－0.01),89(1－0.001),…,∴an＝891－110n(n∈N*).(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32,因此原数列可化为－21－321,22－322,－23－323,24－324,…,∴an＝(－1)n·2n－32n(n∈N*).(4)将数列统一为32,55,710,917,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn＝2n＋1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2},可得分母的通项公式为cn＝n2＋1,∴可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1(n∈N*).(5)an＝0(n为奇数)1(n为偶数)或an＝1＋(－1)n2(n∈N*)或an＝1＋cosnπ2(n∈N*).【总结】解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系.同时,要善于利用我们熟知的一些基本数列,通过合理的联想、转化而达到问题的解决.【变式1】写出下面数列的一个通项公式.(1)212,414,618,8116,…;(2)10,11,10,11,10,11,…;(3)－1,85,－157,249,….【解答】(1)这是个混合数列,可看成2＋12,4＋14,6＋18,8＋116,….故通项公式an＝2n＋12n(n∈N*).(2)该数列中各项每两个元素重复一遍,可以利用这个周期性求an.原数列可变形为:10＋0,10＋1,10＋0,10＋1,….故其一个通项为:an＝10＋1＋(－1)n2,或an＝10，n为奇数11，n为偶数.(3)通项符号为(－1)n,如果把第一项－1看作－33,则分母为3,5,7,9,…,分母通项为2n＋1;分子为3,8,15,24,…,分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2),∴原数列通项为:an＝(－1)nn2＋2n2n＋1(n∈N*).人教版数学必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一)第2页(共4页)二.根据递推公式写出数列的前几项【例2】设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋1an－1(n1，n∈N*).写出这个数列的前5项.【总结】由递推公式可以确定数列,它也是给出数列的一种常用方法.【变式2】在数列{an}中,已知a1＝2,a2＝3,an＋2＝3an＋1－2an(n≥1),写出此数列的前6项.【解答】a1＝2,a2＝3,a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5,a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9,a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17,a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.三.数列通项公式的应用【例3】已知数列9n2－9n＋29n2－1;(1)求这个数列的第10项;(2)98101是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;(4)在区间13，23内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.【解答】(1)解设f(n)＝9n2－9n＋29n2－1＝(3n－1)(3n－2)(3n－1)(3n＋1)＝3n－23n＋1.令n＝10,得第10项a10＝f(10)＝2831.(2)解令3n－23n＋1＝98101,得9n＝300.此方程无自然数解,∴98101不是该数列中的项.(3)证明∵an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1,又n∈N*,∴033n＋11,∴0an1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内.(4)解令13an＝3n－23n＋123,则3n＋19n－69n－66n＋2,即n76n83.∴76n83.又∵n∈N*,∴当且仅当n＝2时,上式成立,故区间13，23上有数列中的项,且只有一项为a2＝47.【总结】判断某数是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求n的值,若存在正整数n,则说明该数是数列中的项,否则就不是该数列的项.【变式3】已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(n＋1)(2n－1)(2n＋1).(1)写出它的第10项;(2)判断233是不是该数列中的项.【解答】(1)a10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n＋1(2n－1)(2n＋1)＝233,化简得:8n2－33n－35＝0,【解答】得n＝5.当n＝5时,a5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项.人教版数学必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一)第3页(共4页)【课堂小结】1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质:(1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.(2)可重复性:数列中的数可以重复.(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关.2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列－1,1,－1,1,－1,1,…的通项公式可写成an＝(－1)n,也可以写成an＝(－1)n＋2,还可以写成an＝－1(n＝2k－1)，1(n＝2k)，其中k∈N*.【课时作业】一.选择题1.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是()A.an＝n2－n＋1B.an＝n(n－1)2C.an＝n(n＋1)2D.an＝n2＋1【解答】C2.已知数列{an}中,an＝2n＋1,那么a2n为()A.2n＋1B.4n－1C.4n＋1D.4n【解答】C3.若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是()A.an＝12[1＋(－1)n－1]B.an＝12[1－cos(n·180°)]C.an＝sin2(n·90°)D.an＝(n－1)(n－2)＋12[1＋(－1)n－1]【解答】D【解答】析令n＝1,2,3,4代入验证即可.4.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50,则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【解答】C【解答】析n2－n－50＝－8,得n＝7或n＝－6(舍去).5.设an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*),那么an＋1－an等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2【解答】D【解答】析∵an＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n∴an＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2∴an＋1－an＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.人教版数学必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(一)第4页(共4页)二.填空题6.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______.【解答】an=2n+17.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是______.【解答】55【解答】析三角形数依次为:1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为:1+2+3+4+…+10=55.8.数列a,b,a,b,…的一个通项公式是______【解答】an＝a＋b2＋(－1)n＋1a－b2【解答】析a＝a＋b2＋a－b2,b＝a＋b2－a－b2,故an＝a＋b2＋(－1)n＋1a－b2.三.解答题9.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有多少个点.【解答】图(1)只有1个点,无分支;图(2)除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点;图(3)除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;图(4)除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点;…;猜测第n个图中除中间一个点外,有n个分支,每个分支有(n-1)个点,故第n个图中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1.10.数列{an}中,a1＝1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an＝n2.(1)求a3＋a5;(2)探究256225是否为此数列中的项;(3)试比较an与an＋1(n≥2)的大小.【解答】由题意知:an＝n2(n－1)2(n≥2).(1)a3＋a5＝94＋2516＝6116.(2)256225＝162152＝a16,∴256225为数列中的项.(3)n≥2时,an－an＋1＝n2(n－1)2－(n＋1)2n2＝n4－(n2－1)2(n－1)2n20,∴anan＋1.