二次函数性质的再研究

12.4二次函数性质的再研究名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]二次函数图像间的变换(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)图像间的变换：二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到．(2)y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)图像间的变换：函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由函数y＝ax2(a≠0)的图像变换得到．其中a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．(3)y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像间的变换．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通过配方可以得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而知道，由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．[研一题][例1]在同一坐标系中作出下列函数的图像．(1)y＝x2;(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．(2)描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．本例中如何把y＝2x2－4x的图像变换成y＝x2的图像？[通一类]1．画出y＝12x2－6x＋21的图像，并说明由y＝x2的图像如何变换得到y＝12x2－6x＋21的图像？[研一题][例2](1)已知一个二次函数y＝f(x)，f(0)＝3，又知当x＝－3和x＝－5时，函数的值为零，求这个二次函数的解析式；2(2)已知二次函数f(x)图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1，13)和(2，28)，求二次函数f(x)的解析式．[悟一法]求二次函数解析式一般利用待定系数法，但应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，一般规律：(1)已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)．(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)．[通一类]2．已知二次函数y＝f(x)分别满足下列条件，(1)图像过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点；(2)图像顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)．求对应函数的解析式．若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围．4．2二次函数的性质[读教材·填要点]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：a的符号性质a＞0a＜0图像开口方向向上向下单调区间递增区间为[－b2a，＋∞)；递减区间为(－∞，－b2a]递增区间为(－∞，－b2a]；递减区间为[－b2a，＋∞)最值ymin＝4ac－b24a，无最大值ymax＝4ac－b24a无最小值对称轴x＝－b2a3顶点坐标(－b2a，4ac－b24a)注：记ymax、ymin分别表示函数y＝f(x)的最大值、最小值．[小问题·大思维]1．二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？提示：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在其对称轴的两侧单调性一定相反，可以借助于二次函数的图像进行说明．2．二次函数的最值一定在顶点取得吗？提示：不一定，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当x∈R时可以，但当x属于某局部闭区间时，不一定．3．对二次函数y＝f(x)，若满足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则其对称轴方程是什么？提示：x＝a.[研一题][例1]已知函数f(x)＝12x2－3x－34.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴，并指出它的单调区间；(2)已知f(72)＝－418，不计算函数值，试求f(52)；(3)不直接计算函数值，比较f(－14)与f(－154)的大小．[悟一法](1)“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h等其它性质．(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．[通一类]1．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，求f(1)的取值范围．[研一题][例2]已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，4(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．[悟一法](1)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解有以下三种情况：①对称轴与区间[m，n]都是确定的；②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定．对于以上三种情况，①采用数形结合，较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类．(2)求函数的值域应注意函数的定义域，可直接根据函数的单调性求解，也可先求其最大(小)值，再由最大(小)值确定．[通一类]2．已知函数f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1，1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．练习第一组1．函数y＝－x2＋4x的单调递增区间是________．2．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0，3]的最大值是________，最小值是________．3．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使函数y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数．第二组一、选择题1．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x是增函数的是()A．RB．[2，＋∞)C．[14，＋∞)D．(－∞，14]2．如果函数y＝4x2－kx－8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围为()A．k≤40B．k≥160C．40k160D．k≤40或k≥1603．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.56万元C．45.6万元D．45.51万元二、填空题1．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数，5则f(－1)＝________．2．已知二次函数f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(常数a，b∈R)的图像关于y轴对称，其值域为(－∞，4]，则a＝________，b＝________．3．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．